Bài 20 trang 159 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 20 trang 159 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN...

Đề bài

a)   Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\), dây \(CD\). Các đường vuông góc với \(CD\) tại \(C\) và \(D\) tương ứng cắt \(AB\) ở \(M\) và \(N\). Chứng minh rằng \(AM = BN.\) 

b) Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Trên \(AB\) lấy các điểm \(M, N\) sao cho \( AM = BN\). Qua \(M\) và qua \(N\), kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở \(C\) và \(D\). Chứng minh rằng \(MC\) và \(ND\) vuông góc với \(CD\).  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang đó.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có:

\(CM ⊥CD\)

\(DN⊥CD\)

Suy ra:  \(CM // DN\)

Kẻ  \(OI ⊥CD\)

Suy ra:  \(OI // CM // DN\)

Xét (O) có \(OI ⊥CD\) mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên \(IC = ID\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Hình thang MCDN (do \(CM // DN\)) có  \(OI // CM // DN\) và \(IC=ID\) 

Suy ra:  \(OM = ON\) (1)

Mà: \(AM + OM = ON + BM( = R)\)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \(AM = BN.\)

b) Ta có:  \(MC // ND\) (gt)

Suy ra tứ giác  \(MCDN\) là hình thang

Lại có:    \(OM + AM = ON + BN (= R)\)

Mà  \(AM = BN\) (gt)

Suy ra:  \(OM = ON\)

Kẻ  \(OI ⊥ CD \)     (3)

Xét (O) có \(OI ⊥CD\) mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên \(IC = ID\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Khi đó  \(OI\) là đường trung bình của hình thang \(MCDN\) (vì \(OM = ON\) và \(IC = ID\)) 

Suy ra:  \(OI // MC // ND\)      (4)

Từ (3) và (4) suy ra:  \(MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 10 phiếu

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài