Bài 53* trang 46 SBT toán 7 tập 2


Giải bài 53* trang 46 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC. a) Chứng minh rằng AD = AE.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Các tia phân  giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Gọi \(D\) và \(E\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến  \(AB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \(AD = AE.\)

b) Tính các độ dài \(AD, AE\) biết rằng \(AB = 6cm, AC = 8cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

+) Tính chất đường phân giác của góc: Các điểm nằm trên đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó.

+) Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm.

+) Tính chất hai tam giác bằng nhau

Lời giải chi tiết

a) Vì \(I\) là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên \(AI\) là tia phân giác của \(Â.\)

\( \Rightarrow  ID = IE\) (tính chất tia phân giác)         (1)

Và \(\widehat {DAI} =\widehat {E{\rm{A}}I}=\dfrac{BAC}{2}\)\(=\dfrac{90}{2}= 45^\circ \) (vì \(AI\) là phân giác góc BAC)

Vì \(∆ADI \) vuông tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)

Nên \(∆ADI\) vuông cân tại \(D.\)

\( \Rightarrow  ID = DA\)    (2)

Vì \(∆AEI\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)

Nên \(∆ AEI\) vuông cân tại \(E\)

\( \Rightarrow IE = AE\)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AD = AE\)

b) Trong tam giác vuông \(ABC\) có \( Â=90°\)

Theo định lý Pitago ta có:

\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr 
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)

\( \Rightarrow BC = 10 \,(cm)\)

Kẻ \(IF \bot BC\)

Xét hai tam giác vuông \(IDB\) và \(IFB:\)

+) \( \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền \(BI\) chung

Do đó:  \(∆IDB = ∆IFB\) (cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow  DB = FB   \)        (4)

Xét hai tam giác vuông \(IEC\) và \(IFC:\)

+) \( \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền \(CI\) chung  

Do đó: \(∆IEC = ∆IFC\) (cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow  CE = CF\)        (5)

Mà \(AD + AE \)\(= AB – DB + AC – CE\)

\( \Rightarrow AD + AE \)\(= AB + AC – (DB + CE)\)        (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra:

\(AD + AE = AB + AC – (FB + FC)\)\( = AB + AC – BC\)

\(AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4\) (cm)

Mà \(AD = AE\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.4 trên 5 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi với đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Sử, Sinh cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.


Gửi bài