Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 104 SBT toán 9 tập 2


Giải bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 104 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, AH và AM tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác đó. Qua điểm A kẻ đường thẳng...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A, AH\) và \(AM\) tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ \(A\) của tam giác đó. Qua điểm \(A\) kẻ đường thẳng \(mn\) vuông góc với \(AM.\) Chứng minh: \(AB\) và \(AC\) tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bởi \(AH\) và hai tia \(Am, An\) của đường thẳng \(mn.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì \(∆ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\)

\( \Rightarrow AM = MB = MC = \displaystyle{1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)

Nên đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MA\) đi qua \(A,B,C\)

Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) với đường tròn \((M,MA).\)

Khi đó: \(BC \bot AD\) tại H nên H là trung điểm của AD (quan hệ giữa đường kính và dây của đường tròn) 

\( \Rightarrow BC\) là trung trực của \(AD\)

\( \Rightarrow AC=CD\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

\( \Rightarrow ∆ACD\) cân tại \(C\)

\( \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{DAC}\) \((1)\)

Ta lại có: \(\widehat{ADC}=\widehat{nAC}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((2)\)

Từ \((1),(2)\) suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{nAC}\) hay \(\widehat{HAC}=\widehat{nAC}\)

Vậy \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {HAn}\)

Ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{mAB}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((3)\)

\( \widehat {BAH} + \widehat {ACB} = {90^o}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {HAC}\))     \( (4)\)

Từ \((3),(4)\) suy ra \(\widehat {mAB} = \widehat {BAH}\).

Vậy \(AB\) là tia phân giác của \(\widehat {mAH}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài