Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 104 SBT toán 9 tập 2


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A, AH\) và \(AM\) tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ \(A\) của tam giác đó. Qua điểm \(A\) kẻ đường thẳng \(mn\) vuông góc với \(AM.\) Chứng minh: \(AB\) và \(AC\) tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bởi \(AH\) và hai tia \(Am, An\) của đường thẳng \(mn.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì \(∆ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\)

\( \Rightarrow AM = MB = MC = \displaystyle{1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)

Nên đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MA\) đi qua \(A,B,C\)

Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) với đường tròn \((M,MA).\)

Khi đó: \(BC \bot AD\) tại H nên H là trung điểm của AD (quan hệ giữa đường kính và dây của đường tròn) 

\( \Rightarrow BC\) là trung trực của \(AD\)

\( \Rightarrow AC=CD\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

\( \Rightarrow ∆ACD\) cân tại \(C\)

\( \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{DAC}\) \((1)\)

Ta lại có: \(\widehat{ADC}=\widehat{nAC}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((2)\)

Từ \((1),(2)\) suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{nAC}\) hay \(\widehat{HAC}=\widehat{nAC}\)

Vậy \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {HAn}\)

Ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{mAB}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((3)\)

\( \widehat {BAH} + \widehat {ACB} = {90^o}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {HAC}\))     \( (4)\)

Từ \((3),(4)\) suy ra \(\widehat {mAB} = \widehat {BAH}\).

Vậy \(AB\) là tia phân giác của \(\widehat {mAH}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 104 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 104 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy ba điểm bất kỳ A, B, C trên đường tròn (O)...

  • Bài 27 trang 104 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 27 trang 104 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ tia Bx sao cho tia BC nằm giữa hai tia Bx;...

  • Bài 26 trang 104 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 26 trang 104 sách bài tập toán 9. Ngồi trên một đỉnh núi cao 1km thì có thể nhìn thấy một địa điểm T trên mặt đất với khoảng cách tối đa là bao nhiêu...

  • Bài 25 trang 104 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 25 trang 104 sách bài tập toán 9. Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn tâm O ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó...

  • Bài 24 trang 103 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 24 trang 103 sách bài tập toán 9. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn (C (O), D (O’)).

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.