Bài 41* trang 162 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(AB.\) Qua điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến \(d\) của đường tròn. Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(B\) đến \(d.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(AB.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(CE = CF;\)

\(b)\) \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAE;\)

\(c)\)  \(CH^2 = AE.BF\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Ta có: \(OC ⊥d\) ( tính chất tiếp tuyến)

\(AE ⊥ d\;\; (gt)\)

\(BF ⊥ d \;\;(gt)\)

Suy ra:  \(OC // AE // BF \;\;(*)\)

Mà  \(OA = OB (=R)\)

Suy ra: \( CE = CF\) (tính chất đường thẳng song cách đều)

\(b)\) Ta có: \(AE // OC\) (theo \((*)\))

Suy ra:  \(\widehat {OCA} = \widehat {EAC}\) ( hai góc so le trong)      \((1)\)

Ta có: \(OA = OC (=R)\)

Suy ra: \(∆OAC\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC}\)  \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {EAC} = \widehat {OAC}\)

Vậy \(AC\) là tia phân giác của góc \(OAE\) hay \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAE.\)

\(c)\) Tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(CH ⊥ AB.\)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

\(C{H^2} = HA.HB\;\; (3)\)

Xét hai tam giác \(ACH\) và \(ACE,\) ta có:

+) \(\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

+) \(CH = CE\) (tính chất đường phân giác)

+) \(AC\) chung

Suy ra:   \(∆ACH = ∆ACE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra:   \(AH = AE\;\;(4)\)

Xét hai tam giác \(BCH\) và \(BEF,\) ta có:

+) \(\widehat {BHC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \)

+) \(CH = CF (= CE)\)

+) \(BC \) chung

Suy ra: \(∆BCH = ∆BCF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra:       \(BH = BF  \;\;(5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(C{H^2} = AE.BF\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 7 phiếu
  • Bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn (O) đường kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên...

  • Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 2cm), điểm A di chuyển trên đường tròn. Trên tiếp tuyến tại A, lấy điểm M sao cho AM = OA. Điểm M chuyển động trên đường nào ?

  • Bài 4.3 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 4.3 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 15cm), dây AB = 24cm. Một tiếp tuyến song song với AB cắt các tia OA, OB theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài EF.

  • Bài 40 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 40 trang 162 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA...

  • Bài 39 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 39 trang 162 sách bài tập toán 9. Cho hình thang vuông ABCD...

  • Bài 38 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 38 trang 162 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ đường kính COD. Tính độ dài AD.

  • Bài 37 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 37 trang 162 sách bài tập toán 9. Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A ; 13cm)...

  • Bài 36 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 36 trang 162 sách bài tập toán 9. Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào?

  • Bài 35 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 35 trang 162 sách bài tập toán 9. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ ( -3 ; 2). Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ?

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài