Bài 22 trang 168 SBT toán 9 tập 2


Đề bài

Từ một hình nón, người thợ tiện có thể tiện ra một hình trụ cao nhưng “ hẹp” hoặc một hình trụ rộng nhưng “ thấp”. Trong trường hợp nào thì người thợ tiện loại bỏ ít vật liệu hơn?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Công thức tính thể tích hình trụ: \(V= Sh = πr^2h\).

(\(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao, \(S\) là diện tích đáy).

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy hình nón là \(R\), chiều cao hình nón là \(h\), bán kính đáy hình trụ là \(r\), chiều cao phần hình nón cắt đi là \(BE = x\).

Vì \(MN//AC \), theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle  {{ME} \over {AD}} = {{BE} \over {BD}}\) hay \(\displaystyle {r \over R} = {x \over h} \Rightarrow r = {{Rx} \over h}\)

Thể tích hình trụ là: \(V = πr^2. (h-x)\)

\(\displaystyle V = \pi .{\left( {{{Rx} \over h}} \right)^2}.\left( {h - x} \right)\)\(\, \displaystyle = \pi .{{{R^2}{x^2}} \over {{h^2}}}.(h - x)\)

Phần bỏ đi của hình nón ít nhất có nghĩa là thể tích của hình trụ lớn nhất:

\(\displaystyle V = \pi .{{{R^2}{x^2}} \over {{h^2}}}(h - x)\)

\(\displaystyle \Rightarrow 2V{h^2} = \pi {R^2}{x^2}(2h - 2x)\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{2V{h^2}} \over {\pi {R^2}}} = {x^2}(2h - 2x)\))

Vì \(π, R, h\) là các hằng số nên thể tích hình trụ lớn nhất khi và chỉ khi \({x^2}\left( {2h - 2x} \right)\) lớn nhất. Ta có \({x^2}\left( {2h - 2x} \right) = x.x.\left( {2h - 2x} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho ba số dương \(x, x, 2h-2x\) ta có:

\(\sqrt[3]{{x.x.\left( {2h - 2x} \right)}} \le \dfrac{{x + x + 2h - 2x}}{3} = \dfrac{{2h}}{3}\) \( \Rightarrow x.x.\left( {2h - 2x} \right) \le {\left( {\dfrac{{2h}}{3}} \right)^3} \) \(= \dfrac{{8{h^3}}}{{27}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \( x = 2h -2x  \Leftrightarrow  3x = 2h  \) \(\Rightarrow  x = \displaystyle {2 \over 3}h\)

Vậy khi phần cắt bỏ ở phía trên hình nón có chiều cao bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) chiều cao hình nón thì phần bỏ đi là ít nhất.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 23 trang 168 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 23 trang 168 sách bài tập toán 9. Hình 99 là một hình nón. Chiều cao là h (cm), bán kính đường tròn đáy là r (cm) và độ dài đường sinh m (cm) thì thể tích hình nón này là ...

  • Bài 24 trang 169 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 24 trang 169 sách bài tập toán 9. Một hình trụ có bán kính đáy 1cm và chiều cao 2cm, người ta khoan đi một phần có dạng hình nón như hình vẽ (h.100) thì phần thể tích còn lại của nó sẽ là ...

  • Bài 25 trang 169 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 25 trang 169 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi V1, V2, V3 theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC, AB và AC...

  • Bài 26 trang 169 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 26 trang 169 sách bài tập toán 9. Hình 101 có một hình nón, chiều cao k (cm), bán kính đường tròn đáy m (cm) và một hình trụ có cùng chiều cao và bán kính đường tròn đáy với hình nón...

  • Bài 21 trang 168 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 21 trang 168 sách bài tập toán 9. Nếu chiều cao và bán kính đáy của một hình nón đều tăng lên và bằng 5/4 so với các kích thước tương ứng ban đầu thì trong các tỉ số sau đây ...

  • Bài 20 trang 168 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 20 trang 168 sách bài tập toán 9. Hình 98 có một hình nón, bán kính đường tròn đáy là m/2 (cm), chiều cao là 2l (cm) và một hình trụ, bán kính đường tròn đáy m (cm), chiều cao 2l (cm).

  • Bài 19 trang 167 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 19 trang 167 sách bài tập toán 9. Cho hình bình hành ABCD với AB = 1, AD = x (x > 0) và góc BAD = 60^o ...

  • Bài 18 trang 167 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 18 trang 167 sách bài tập toán 9. Diện tích toàn phần của hình nón, theo các kích thước của hình 97 là ...

  • Bài 17 trang 167 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 17 trang 167 sách bài tập toán 9. Người ta minh họa một cái xô đựng nước ở hình 96. Thể tích nước chứa đầy xô sẽ là (tính theo cm^3­) ...

  • Bài 16 trang 167 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 16 trang 167 sách bài tập toán 9. Một chiếc cốc dạng hình nón, chứa đầy rượu (h.95). Cụ Bá uống một lượng rượu nên “chiều cao” của rượu còn lại trong cốc bằng một nửa chiều cao ban đầu.

  • Bài 15 trang 166 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 15 trang 166 sách bài tập toán 9. Cắt bỏ hình quạt OPSQ (xem hình 94 – phần gạch sọc). Biết độ dài cung PRQ là x thì phần còn lại có thể ghép thành hình nón nào dưới đây?

  • Bài 14 trang 166 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 14 trang 166 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60^o và BC = 2a.(đơn vị độ dài). Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền BC...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.