Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Ôn tập chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 5 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11


Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

LG a

\(13^n-1\) chia hết cho \(6\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)

Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)

Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)

Thật vậy:

\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)

\(\begin{array}{l}
= \left( {{{13}^{k + 1}} - {{13}^k}} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)\\
= {13^k}\left( {13 - 1} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)
\end{array}\)

\(= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\)

Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp)

Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\)

Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in N^*\).

LG b

\(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\)

Giả sử:  \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\) \(\forall k \ge 1\).

Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Thật vậy:

\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)

\(= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)

\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)

\(= (3k^3+ 15k ) + 9(k^2+ k + 2)\)

Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\)

Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.1 trên 27 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store