Bài 5 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
2.3 trên 17 phiếu

Giải bài 5 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

LG a

\(13^n-1\) chia hết cho \(6\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)

Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)

Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)

Thật vậy:

\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)

                  \(= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\)

Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp)

Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\)

Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in N^*\).

LG b

\(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\)

Giả sử:  \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\) \(\forall k \ge 1\).

Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Thật vậy:

\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)

\(= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)

\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)

\(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)\)

Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\)

Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

 Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng