Bài 11 trang 108 SGK Đại số và Giải tích 11


Đề bài

Biết rằng ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân và ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.

Lời giải chi tiết

Giả sử ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\) ta có: \(y = x.q\) và \(z = y.q = x.q^2\).

Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên:

\(x + 3z = 2. 2y \)

\(⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)

\( \Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\)

\(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 \)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(3q^2– 4q + 1 = 0\)

Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) không xác định (loại)

Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Gọi công bội của CSN \(x ; y ; z\) là \(q\).

\(\Rightarrow {\rm{ }}y = x.q{\rm{ }};{\rm{ }}z = x.{q^2}.\)

Lại có : \(x ; 2y ; 3z\) lập thành CSC

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3z{\rm{ }}-{\rm{ }}2y}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}2.xq{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3.x{q^2}\;-{\rm{ }}2.xq}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}x\left( {2q{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}x.\left( {3{q^2}\;-{\rm{ }}2q} \right)}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}x.\left( {3{q^2}\;-{\rm{ }}4q{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0}
\end{array}\)

+ Nếu \(x = 0{\rm{ }} \Rightarrow y = z = 0\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}q\) không xác định (loại).

+ Nếu \(x \ne 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}3{q^2}--4q + 1 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}q = 1\) hoặc \(q = \frac{1}{3}\)

Vậy CSN có công bội \(q = 1\) hoặc \(q = \frac{1}{3}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.