Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Ôn tập chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 15 trang 108 SGK Đại số và Giải tích 11


Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:

Đề bài

Hãy cho biết dãy số \((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là:

A. \({( - 1)^{n + 1}}.\sin {\pi  \over n}\)      B. \({( - 1)^{2n}}({5^n} + 1)\)

C. \(\displaystyle{1 \over {\sqrt {n + 1}  + n}}\)         D. \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}}\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n+1} > u_n\) với mọi \(n \in N^*\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Xét từng phương án ta có:

_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử \({\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\) nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng.

_ Phương án C:

\(\eqalign{
& {u_3} = {1 \over {\sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 \over 3} \cr
& {u_8} = {1 \over {\sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 \over 4} \cr} \)

\(⇒ u_8 < u_3  ⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại đáp án C

_ Phương án D: \({u_1} = {1 \over 2},{u_2} = {2 \over 5}\)

\(⇒ u_2< u_1⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại phương án D

Chọn đáp án B.

Thật vậy:

\({u_n} = {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^{2n}}.({5^n} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{5^n} + 1\) 

(vì \(2n\) chẵn nên \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = {\rm{ }}1\))                                                                

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} =({5^{n + 1}} + 1)-({5^n} +1) = {5^{n + 1}}-{5^n}\)

\(= 5^n. (5 – 1) = 4. 5^n> 0, ∀ n ∈ {\mathbb N}^*\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.

Cách tổng quát:

Đáp án A:

(un): \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \frac{\pi }{n}\) có:

\({u_1};{\rm{ }}{u_{3\;}};{\rm{ }}{u_{5\;}};{\rm{ }} \ldots \;\) dương

\({u_2};{\rm{ }}{u_{4\;}};{\rm{ }}{u_{6\;}};{\rm{ }} \ldots \) âm

⇒ dãy số không tăng không giảm.

Đáp án B:

\(({u_n}):{\left( { - 1} \right)^{2n}}.({5^n}\; + {\rm{ }}1) = {5^n}\; + {\rm{ }}1{\rm{ }}.\)

\({u_{n + 1}}\; = {\rm{ }}{5^{n + 1}}\; + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}{5^n}\; + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_n}\) với mọi n ∈ N.

\( \Rightarrow {\rm{ }}({u_n})\) là dãy số tăng.

Đáp án C:

\(\begin{array}{l}
+ \;({u_n}):{u_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + n}}\\
{u_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + n + 1}} < \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + n}} = {u_n}
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}({u_n})\) là dãy số giảm.

Đáp án D:

\(\begin{array}{l}
+ \;({u_n}):{u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}}\\
= \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) - n.\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}}\\
= \frac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\quad \forall n \ge 1.
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}({u_n})\) là dãy giảm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua