Bài 8 trang 120 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều chính là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện.

- Tính toán dựa vào các tính chất tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\),

Ta có: \(\Delta ABC = \Delta DBC(c.c.c)\) \( \Rightarrow AN = DN\) (hai đường trung tuyến tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta AND\) cân tại \(N\).

\(\Rightarrow\) Trung tuyến \(MN\) đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MN \, \bot \,  AD \,\,\, (1)\)

Chứng minh tương tự, \(\Delta MBC\) cân tại \(M \Rightarrow MN \, \bot  \, BC \,\,\,\,\, (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(AD\).

\( \Rightarrow d\left( {AD;BC} \right) = MN\)

Tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) nên:

\(AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}\) \(  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AMN\) ta có:

\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy \(d\left( {AD;BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 19 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.