Bài 3 trang 119 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm \(B, C, D, A', B', D'\) đến đường chéo \(AC'\) đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Xác định và tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(AC'\) bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

+) Chứng minh các tam giác bằng nhau và suy ra các đường cao tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AC'\). 

Ta có \(AB \, \bot  \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \,  \bot  \, BC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại B.

Dễ thấy \(BC'\) là đường chéo của hình vuông cạnh \(a \Rightarrow BC' = a\sqrt 2 .\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC'\) có: 

\(\dfrac{1}{BK^{2}}=\dfrac{1}{BA^{2}}+\dfrac{1}{BC^{2}}\) \(=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{(a\sqrt{2})^{2}}=\dfrac{3}{2a^{2}}\)\( \Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\) 

Ta có:

\(\Delta ABC' = \Delta C'CA = \Delta ADC' \)\(= \Delta AA'C' = \Delta C'B'A = \Delta C'D'A\)

\((c.g.c)\)

Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau.

Vậy khoảng cách từ \(B, C, D, A', B', D'\) tới \(AC'\) đều bằng \( \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 21 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.