Bài 6 trang 119 SGK Hình học 11

Bình chọn:
3.5 trên 15 phiếu

Giải bài 6 trang 119 SGK Hình học 11. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD...

Đề bài

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện \(ABCD\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Theo giả thiết \(IJ\bot AB, IJ\bot CD\).

Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d // CD\), lấy trên \(d\) điểm \(E, F\) sao cho \(IE = IF = \dfrac{CD}{2}\)

Ta có \(IJ \bot CD\,\, (gt) \Rightarrow IJ \bot EF\), lại có \(IJ \bot AB \,\,(gt)\)

\(\Rightarrow IJ \bot (AEBF)\).

Ta có \(CDFE\) là hình bình hành có \(IJ\) là đường trung bình

\( \Rightarrow CE // DF // IJ\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \bot \left( {AEBF} \right) \Rightarrow CE \bot BE\\DF \bot \left( {AEBF} \right) \Rightarrow DF \bot AF\end{array} \right.\)

Ta có: \(\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)\) suy ra: \(AF=BE\)

Xét \(∆DFA\) và \(∆CEB\) có:

  +) \(\widehat E = \widehat F( = {90^0})\) 

  +) \(AF=BE\)

  +) \(DF=CE\)

\(\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c) \Rightarrow AD = BC\). 

Chứng minh tương tự ta được \(BD = AC\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 5. Khoảng cách

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu