Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11

Bình chọn:
4.1 trên 16 phiếu

Giải bài 2 trang 119 SGK Hình học 11. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC...

Đề bài

Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).

a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.

b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).

c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi \(E = AH ∩ BC\), chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy tại E.

b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\). Chứng minh \(SC \bot \left( {BDF} \right)\).

Chứng minh HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((SBC)\).

c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải chi tiết

a) Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\)   (1)

\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\)                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\( \Rightarrow BC ⊥ SE\).

\(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).

b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BF \bot AC\\
BF \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right.  \Rightarrow BF \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BF \bot SC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot BF\\
SC \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BDF} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right)\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\\
BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\
\Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AE \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến các môn lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan