Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).
a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).
c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(E = AH ∩ BC\), chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy tại E.
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\). Chứng minh \(SC \bot \left( {BDF} \right)\).
Chứng minh HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((SBC)\).
c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.
Lời giải chi tiết
a) Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\) (1)
\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\( \Rightarrow BC ⊥ SE\).
\(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\).
Lớp 12
