
Đề bài
Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).
a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).
c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(E = AH ∩ BC\), chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy tại \(E.\)
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\). Chứng minh \(SC \bot \left( {BDF} \right)\).
Chứng minh \(HK\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((SBC)\).
c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.
Lời giải chi tiết
a) Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\) (1)
\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\( \Rightarrow BC ⊥ SE\).
\(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
BF \bot AC\\
BF \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BF \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BF \bot SC\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot BF\\
SC \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BDF} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\\
BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\
\Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)
Cách khác:
Có thể chứng minh \(HK \bot \left( {SBC} \right)\) như sau:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot \left( {BHK} \right)\\
SC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot \left( {SAE} \right)\\
BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\
\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\
\left( {BHK} \right) \cap \left( {SAE} \right) = HK
\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AE \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Loigiaihay.com
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a....
Giải bài 4 trang 119 SGK Hình học 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC= b, CC' = c...
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a...
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD...
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a...
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a...
Giải bài 1 trang 119 SGK Hình học 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?...
Giải câu hỏi 6 trang 118 SGK Hình học 11. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất ...
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN ⊥ BC và MN ⊥ AD (h.3.42)...
Cho hai mặt phẳng (α) và (β)...
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α)....
Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: