-
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11
-
HÌNH HỌC - TOÁN 11
-
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
-
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài 5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
- Ôn tập chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
-
CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
-
ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 11
-
-
Câu hỏi tự luyện Toán 11
-
TẢI 50 ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT TOÁN 11
-
TẢI 30 ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TOÁN 11
-
TẢI 5 ĐỀ THI GIỮA KÌ 1 TOÁN 11
-
TẢI 25 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 11
-
TẢI 6 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 11
-
TẢI 20 ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TOÁN 11
Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC...
Đề bài
Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).
a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).
c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(E = AH ∩ BC\), chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy tại \(E.\)
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\). Chứng minh \(SC \bot \left( {BDF} \right)\).
Chứng minh \(HK\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((SBC)\).
c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.
Lời giải chi tiết
a) Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\) (1)
\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\( \Rightarrow BC ⊥ SE\).
\(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
BF \bot AC\\
BF \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BF \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BF \bot SC\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot BF\\
SC \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BDF} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\\
BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\
\Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)
Cách khác:
Có thể chứng minh \(HK \bot \left( {SBC} \right)\) như sau:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot \left( {BHK} \right)\\
SC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot \left( {SAE} \right)\\
BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\
\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\
\left( {BHK} \right) \cap \left( {SAE} \right) = HK
\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AE \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 3 trang 119 SGK Hình học 11
- Bài 4 trang 119 SGK Hình học 11
- Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11
- Bài 6 trang 119 SGK Hình học 11
- Bài 7 trang 120 SGK Hình học 11
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
