Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).

a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.

b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).

c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi \(E = AH ∩ BC\), chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy tại \(E.\)

b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\). Chứng minh \(SC \bot \left( {BDF} \right)\).

Chứng minh \(HK\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((SBC)\).

c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải chi tiết

a) Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\)   (1)

\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\)                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\( \Rightarrow BC ⊥ SE\).

\(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).

b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
BF \bot AC\\
BF \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right.  \Rightarrow BF \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BF \bot SC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot BF\\
SC \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BDF} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right)\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\\
BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\
\Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

Có thể chứng minh \(HK \bot \left( {SBC} \right)\) như sau:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot \left( {BHK} \right)\\
SC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot \left( {SAE} \right)\\
BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\
\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\
\left( {BHK} \right) \cap \left( {SAE} \right) = HK
\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AE \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 29 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.