-
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11
-
HÌNH HỌC - TOÁN 11
-
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
-
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài 5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
- Ôn tập chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
-
CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
-
ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 11
-
-
Câu hỏi tự luyện Toán 11
-
TẢI 50 ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT TOÁN 11
-
TẢI 30 ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TOÁN 11
-
TẢI 5 ĐỀ THI GIỮA KÌ 1 TOÁN 11
-
TẢI 25 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 11
-
TẢI 6 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 11
-
TẢI 20 ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TOÁN 11
Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a...
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\).
a) Chứng minh rằng \(B'D\) vuông góc với mặt phẳng \((BA'C')\).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(B'D\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mp\((BA'C')\).
b) Chứng minh \((BA'C') // (ACD')\). Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Quảng cáo
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \, \bot \, A'C'\\
\left\{ \begin{array}{l}
A'C' \, \bot \, B'D'\\
A'C' \, \bot \, BB'
\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \, \bot \, \left( {BB'D'D} \right)\\
\Rightarrow A'C' \bot B'D\\
DC \, \bot \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow DC \, \bot \, BC'\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC' \, \bot \, B'C\\
BC' \, \bot \, DC
\end{array} \right. \Rightarrow BC' \, \bot \, \left( {A'B'CD} \right)\\
\Rightarrow BC' \, \bot \, B'D\\
\left\{ \begin{array}{l}
B'D \, \bot \, A'C'\\
B'D \, \bot \, BC'
\end{array} \right. \Rightarrow B'D \, \bot \, \left( {BA'C'} \right)
\end{array}\)
Cách khác:
Ta có \(B'A' = B'B = B'C'\)
\( \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\) (1)
\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau)
\(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) là trục của \((BA'C')\) \( \Rightarrow B'D\bot (BA'C')\).
b) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
BC'//AD'\\
A'C'//AC\\
BC',A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\\
AD',AC \subset \left( {ACD'} \right)
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)
Mà \(B'D \, \bot \, \left( {BA'C'} \right)\) nên \(B'D \, \bot \, \left( {ACD'} \right)\)
Gọi \(G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right);\,\,H = B'D \cap \left( {ACD'} \right) \)
\(\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = GH\)
Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABCD, A'B'C'D'\) ta có:
\(BO'//D'O\) nên \(O'G//D'H\), mà \(O'\) là trung điểm của \(B'D' \Rightarrow G\) là trung điểm của \(B'H\).
\( \Rightarrow GB'=GH\) (3)
\(BO'//D'O\) nên \(OH//GB\), mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\).
\( \Rightarrow HG=HD\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D\)
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên:
\(\begin{array}{l}
B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}} \\
= \sqrt {B'{B^2} + B{A^2} + A{D^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} \\
= a\sqrt 3
\end{array}\)
\( \Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà \( \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)
Vậy \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 6 trang 119 SGK Hình học 11
- Bài 7 trang 120 SGK Hình học 11
- Bài 8 trang 120 SGK Hình học 11
- Các dạng toán về khoảng cách
- Bài 4 trang 119 SGK Hình học 11
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
