Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 5. Khoảng cách

Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11


Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a...

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\).

a) Chứng minh rằng \(B'D\) vuông góc với mặt phẳng \((BA'C')\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(B'D\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mp\((BA'C')\).

b) Chứng minh \((BA'C') // (ACD')\). Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \, \bot  \, A'C'\\
\left\{ \begin{array}{l}
A'C' \,  \bot  \, B'D'\\
A'C'  \, \bot  \, BB'
\end{array} \right. \Rightarrow A'C'  \, \bot  \, \left( {BB'D'D} \right)\\
\Rightarrow A'C' \bot B'D\\
DC  \, \bot  \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow DC \,  \bot  \, BC'\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC' \,  \bot \,  B'C\\
BC'  \, \bot \,  DC
\end{array} \right. \Rightarrow BC'  \, \bot  \, \left( {A'B'CD} \right)\\
\Rightarrow BC'  \, \bot  \, B'D\\
\left\{ \begin{array}{l}
B'D  \, \bot  \, A'C'\\
B'D  \, \bot  \, BC'
\end{array} \right. \Rightarrow B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có \(B'A' = B'B = B'C'\)

\( \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\)            (1)

\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \)    (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) là trục của \((BA'C')\) \( \Rightarrow B'D\bot (BA'C')\). 

b) Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC'//AD'\\
A'C'//AC\\
BC',A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\\
AD',AC \subset \left( {ACD'} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Mà \(B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right)\) nên \(B'D  \, \bot  \, \left( {ACD'} \right)\)

Gọi \(G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right);\,\,H = B'D \cap \left( {ACD'} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = GH\)

Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABCD, A'B'C'D'\) ta có:

\(BO'//D'O\) nên \(O'G//D'H\), mà \(O'\) là trung điểm của \(B'D' \Rightarrow G\) là trung điểm của \(B'H\).

\( \Rightarrow GB'=GH\)  (3)

\(BO'//D'O\) nên \(OH//GB\), mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\).

\( \Rightarrow HG=HD\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D\)

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên:

\(\begin{array}{l}
B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}} \\
= \sqrt {B'{B^2} + B{A^2} + A{D^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} \\
= a\sqrt 3
\end{array}\)

\( \Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà \( \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Vậy \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 27 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store