Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\).

a) Chứng minh rằng \(B'D\) vuông góc với mặt phẳng \((BA'C')\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(B'D\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mp\((BA'C')\).

b) Chứng minh \((BA'C') // (ACD')\). Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \, \bot  \, A'C'\\
\left\{ \begin{array}{l}
A'C' \,  \bot  \, B'D'\\
A'C'  \, \bot  \, BB'
\end{array} \right. \Rightarrow A'C'  \, \bot  \, \left( {BB'D'D} \right)\\
\Rightarrow A'C' \bot B'D\\
DC  \, \bot  \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow DC \,  \bot  \, BC'\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC' \,  \bot \,  B'C\\
BC'  \, \bot \,  DC
\end{array} \right. \Rightarrow BC'  \, \bot  \, \left( {A'B'CD} \right)\\
\Rightarrow BC'  \, \bot  \, B'D\\
\left\{ \begin{array}{l}
B'D  \, \bot  \, A'C'\\
B'D  \, \bot  \, BC'
\end{array} \right. \Rightarrow B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có \(B'A' = B'B = B'C'\)

\( \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\)            (1)

\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \)    (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) là trục của \((BA'C')\) \( \Rightarrow B'D\bot (BA'C')\). 

b) Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC'//AD'\\
A'C'//AC\\
BC',A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\\
AD',AC \subset \left( {ACD'} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Mà \(B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right)\) nên \(B'D  \, \bot  \, \left( {ACD'} \right)\)

Gọi \(G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right);\,\,H = B'D \cap \left( {ACD'} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = GH\)

Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABCD, A'B'C'D'\) ta có:

\(BO'//D'O\) nên \(O'G//D'H\), mà \(O'\) là trung điểm của \(B'D' \Rightarrow G\) là trung điểm của \(B'H\).

\( \Rightarrow GB'=GH\)  (3)

\(BO'//D'O\) nên \(OH//GB\), mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\).

\( \Rightarrow HG=HD\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D\)

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên:

\(\begin{array}{l}
B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}} \\
= \sqrt {B'{B^2} + B{A^2} + A{D^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} \\
= a\sqrt 3
\end{array}\)

\( \Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà \( \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Vậy \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 21 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.