Bài 7 trang 31 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Giải bài tập Cho biểu thức

Đề bài

Cho biểu thức \(M = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{x + 4}}{{x - 4}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\)\(\;\left( {x > 0,x \ne 4} \right)\).

a) Rút gọn M.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng mẫu các phân thức.

+) Biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Với biểu thức M vừa rút gọn, biến đổi biểu thức về dạng: \(M = a + \dfrac{b}{{MS}}.\)

+) Để \(M \in Z \Rightarrow \dfrac{b}{{MS}} \in Z \Rightarrow MS \in U\left( b \right).\)

+) Từ đó lập bảng giá trị tìm x.

+) Đối chiếu với điều kiện của x và kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x > 0,\;\;x \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{x + 4}}{{x - 4}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left[ {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right]\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x - 1 - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 2\sqrt x - x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\ = - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\)

b)Điều kiện: \(x > 0,\;\;x \ne 4.\)

Ta có: \(M = - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = - \dfrac{{2\sqrt x + 2 - 2}}{{\sqrt x + 1}}\)\(\; = - 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M \in Z \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \in Z\\ \Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in Ư\left( 2 \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 1\\\sqrt x + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Loigiaihay.com