Bài 4 trang 92 SGK Hình học 11


Giải bài 4 trang 92 SGK Hình học 11. Cho hình tứ diện ABCD...

Đề bài

Cho hình tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng: 

a) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right );\)

b) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\) 

Cộng từng vế ta được:

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN}  \\
= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)
\end{array}\)

Do \(M,N\) là trung điểm của \(AB,CD\) nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0 \)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0  \) \(= \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )\)

b)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \cr
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \cr} \)

Cộng từng vế ta được: 

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} \\
= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow 0 \\
= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}
\end{array}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.3 trên 17 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Vectơ trong không gian

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài