Bài 4 trang 92 SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện ABCD...

Đề bài

Cho hình tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right );$

b) $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng quy tắc ba điểm.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$

Cộng từng vế ta được:

$\begin{array}{l} 2\overrightarrow {MN} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right) \end{array}$

Do $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$ nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0$ $= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$

$\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \cr & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \cr}$

Cộng từng vế ta được:

$\begin{array}{l} 2\overrightarrow {MN} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 29 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 5 trang 92 SGK Hình học 11
Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F...
Bài 6 trang 92 SGK Hình học 11
Giải bài 6 trang 92 SGK Hình học 11. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm...
Bài 7 trang 92 SGK Hình học 11
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.
Bài 8 trang 92 SGK Hình học 11
Giải bài 8 trang 92 SGK Hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có...
Bài 9 trang 92 SGK Hình học 11
Giải bài 9 trang 92 SGK Hình học 11. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC)...
Bài 10 trang 92 SGK Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE...
Bài 3 trang 91 SGK Hình học 11
Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng...
Bài 2 trang 91 SGK Hình học 11
Giải bài 2 trang 91 SGK Hình học 11. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
Bài 1 trang 91 SGK Hình học 11
Giải bài 1 trang 91 SGK Hình học 11. Cho hình lăng trụ tứ giác: ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (P) ...
Câu hỏi 7 trang 89 SGK Hình học 11
Chứng minh rằng ...
Câu hỏi 6 trang 89 SGK Hình học 11
Hãy xác định ...
Câu hỏi 5 trang 89 SGK Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC...
Câu hỏi 4 trang 87 SGK Hình học 11
Trong không gian cho hai vecto...
Câu hỏi 3 trang 86 SGK Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.EFGH...
Câu hỏi 2 trang 85 SGK Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D...
Câu hỏi 1 trang 85 SGK Hình học 11
Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vecto có điểm đầu là A và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện...
Lý thuyết véc tơ trong không gian
Định nghĩa: véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng..