Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Bài 27 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

LG a

Chứng minh \({A'C}  \bot (AB'D').\)

Lời giải chi tiết:

Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ (h.97).Ta có

A(0;0;0); A’(0;0;a); C’(a;a;a); D(0;a;0)

B(a;0;0); D’(0;a;a); B’(a;0;a), C(a;a;0).

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {A'C}  = (a;a; - a),  \cr  & \overrightarrow {AB'}  = (a;0;a),\overrightarrow {AD'}  = (0;a;a)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AB'}  = 0,\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AD'}  = 0  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {A'C}  \bot \overrightarrow {{\rm{AB'}}} ,\overrightarrow {A'C}  \bot \overrightarrow {AD'}   \cr  &  \Rightarrow A'C \bot mp(AB'D'). \cr} \)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB’. Chứng minh \(A'C \bot MN.\)

Lời giải chi tiết:

Ta lại có :

\(\eqalign{  & N(a;0;{a \over 2}),M\left( {0;{a \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {a; - {a \over 2};{a \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {A'C}  = {a^2} - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = 0 \Rightarrow MN \bot A'C. \cr} \)

LG c

Tính cô sin của góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {AC'} \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AC'}  = (a;a;a)\) nên

\(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = {{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \over {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = {{{a^2} - {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 2}} \over {\sqrt {{{3{a^2}} \over 2}} .\sqrt {3{a^2}} }} = {{\sqrt 2 } \over 3}\)

LG d

Tính \({V_{A'CMN}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {A'N} .\overrightarrow {A'M} } \right].\overrightarrow {A'C} } \right|.  \cr  &  \cr} \)

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {A'N}  = (a;0; - {a \over 2}),\overrightarrow {A'M}  = \left( {0;{a \over 2}; - a} \right).  \cr  &   \left[ {\overrightarrow {A'N} ,\overrightarrow {A'M} } \right] = \left( {\left| \matrix{  0 \hfill \cr  {a \over 2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - {a \over 2} \hfill \cr   - a \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{   - {a \over 2} \hfill \cr  a \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  a \hfill \cr   \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  a \hfill \cr   \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  {a \over 2} \hfill \cr}  \right|} \right) \cr&= \left( {{{{a^2}} \over 4};{a^2};{{{a^2}} \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {{{{a^3}} \over 4} + {a^3} - {{{a^3}} \over 2}} \right| = {1 \over 6}\left| {{{3{a^3}} \over 4}} \right| = {{{a^3}} \over 8}. \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua