Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Bài 27 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

LG a

Chứng minh \({A'C}  \bot (AB'D').\)

Lời giải chi tiết:

Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ (h.97).Ta có

A(0;0;0); A’(0;0;a); C’(a;a;a); D(0;a;0)

B(a;0;0); D’(0;a;a); B’(a;0;a), C(a;a;0).

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {A'C}  = (a;a; - a),  \cr  & \overrightarrow {AB'}  = (a;0;a),\overrightarrow {AD'}  = (0;a;a)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AB'}  = 0,\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AD'}  = 0  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {A'C}  \bot \overrightarrow {{\rm{AB'}}} ,\overrightarrow {A'C}  \bot \overrightarrow {AD'}   \cr  &  \Rightarrow A'C \bot mp(AB'D'). \cr} \)

LG b

Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB’. Chứng minh \(A'C \bot MN.\)

Lời giải chi tiết:

Ta lại có :

\(\eqalign{  & N(a;0;{a \over 2}),M\left( {0;{a \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {a; - {a \over 2};{a \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {A'C}  = {a^2} - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = 0 \Rightarrow MN \bot A'C. \cr} \)

LG c

Tính cô sin của góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {AC'} \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AC'}  = (a;a;a)\) nên

\(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = {{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \over {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = {{{a^2} - {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 2}} \over {\sqrt {{{3{a^2}} \over 2}} .\sqrt {3{a^2}} }} = {{\sqrt 2 } \over 3}\)

LG d

Tính \({V_{A'CMN}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {A'N} .\overrightarrow {A'M} } \right].\overrightarrow {A'C} } \right|.  \cr  &  \cr} \)

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {A'N}  = (a;0; - {a \over 2}),\overrightarrow {A'M}  = \left( {0;{a \over 2}; - a} \right).  \cr  &   \left[ {\overrightarrow {A'N} ,\overrightarrow {A'M} } \right] = \left( {\left| \matrix{  0 \hfill \cr  {a \over 2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - {a \over 2} \hfill \cr   - a \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{   - {a \over 2} \hfill \cr  a \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  a \hfill \cr   \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  a \hfill \cr   \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  {a \over 2} \hfill \cr}  \right|} \right) \cr&= \left( {{{{a^2}} \over 4};{a^2};{{{a^2}} \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {{{{a^3}} \over 4} + {a^3} - {{{a^3}} \over 2}} \right| = {1 \over 6}\left| {{{3{a^3}} \over 4}} \right| = {{{a^3}} \over 8}. \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store