Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Bài 28 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Cho tứ diện SABC

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tứ diện SABC có \(SC = CA = AB = a\sqrt 2 ,SC \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm \(M \in SA,N \in BC\) sao cho \(AM = CN = t(0 < t < 2a)\)

LG a

Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng A, tia Ox chứa AC, tia Oy chứa AB và tia Oz cùng hướng tới tia CS (h.98). Khi đó, ta có:

\(A(0;0;0),B(0;a\sqrt 2 ;0),C(a\sqrt 2 ;0;0),\)

\(S(a\sqrt 2 ;0;a\sqrt 2 ),\)

\(\eqalign{  & M\left( {{{t\sqrt 2 } \over 2};0;{{t\sqrt 2 } \over 2}} \right);N\left( {a\sqrt 2  - {{t\sqrt 2 } \over 2};{{t\sqrt 2 } \over 2};0} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {\sqrt 2 (a - t);{{t\sqrt 2 } \over 2}; - {{t\sqrt 2 } \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow  {MN}  = \sqrt {2({a^2} - 2at + {t^2}) + {{{t^2}} \over 2} + {{{t^2}} \over 2}}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{t^2} - 4at + 2{a^2}}   \cr  &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{{\left( {t - {{2a} \over 3}} \right)}^2} + {{2{a^2}} \over 3}}  \ge {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(t = {{2a} \over 3}\) thỏa mãn điều kiện 0 < t < 2a.

Vậy MN ngắn nhất bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\) khi \(t = {{2a} \over 3}.\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

Lời giải chi tiết:

Khi MN ngắn nhất thì :

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {{{a\sqrt 2 } \over 3};{{a\sqrt 2 } \over 3}; - {{a\sqrt 2 } \over 3}} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SA}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow MN\) là đường vuông góc chung của SA và BC.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua