Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Bài 21 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Trong không gian Oxyz

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1).

LG a

Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;1),\overrightarrow {AC}  = (0; - 1;2),\overrightarrow {AD}  = (0;0;1)\)

Ta có : \(\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 1 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Do đó bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng và

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {1 \over 6}.\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(G = \left( {{2 \over 3};1;1} \right)\)

Gọi G’ là trọng tâm của tứ diện ABCD thì \(G' = \left( {{3 \over 4};1;1} \right)\)

LG c

Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \)

\(= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt {14} } \over 2}\)

\(\eqalign{  & {S_{ACD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\cr& = {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {1 \over 2}.  \cr  & {S_{ADB}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  0 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt 2 } \over 2}.  \cr  & {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{   - 2 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   - 2 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt 3 } \over 2}. \cr} \)

LG d

Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Từ công thức tính thể tích khối tứ diện \(V = {1 \over 3}Bh\) (B là diện tích đáy,hlaf chiều cao tương ứng ) ta suy ra \(h = {{3V} \over B}.\)

Vậy nếu gọi \({h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\) lần lượt là chiều cao hạ từ đỉnh A, B,C, D thì ta có :

\(\eqalign{  & {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 3 }},\cr&{h_B} = {{3V} \over {{S_{ACD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{1 \over 2}}} = 1.  \cr  & {h_C} = {{3V} \over {{S_{ABD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 2 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 2 }},\cr&{h_D} = {{3V} \over {{S_{ABC}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt {14} } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt {14} }}. \cr} \)

LG e

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;1),\overrightarrow {CD}  = (0;1; - 1)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\), suy ra góc giữa AB  và CD bằng 900.

LG g

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Khi đó, ta có

\( \left\{ \matrix{  I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr  I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr  I{A^2} = ID \hfill \cr}  \right.\) 

\(  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 2x + 2y + 2z = 3 \hfill \cr   - 2y + 4z = 3 \hfill \cr  2z = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {3 \over 2} \hfill \cr  y =  - {1 \over 2} \hfill \cr  z = {1 \over 2}. \hfill \cr}  \right.  \)

Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD là \(I\left( { - {3 \over 2}; - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) và bán kính của mặt cầu đó là

\(R = ID = \sqrt {{{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}  = {{\sqrt {35} } \over 2}.\)

Do đó, phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

\({\left( {x + {3 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {{35} \over 4}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua