Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Bài 24 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Chứng minh các tính chất sau đây có tích có hướng :

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các tính chất sau đây có tích có hướng :

LG a

\(\eqalign{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] =  - \left[ {  \overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right]\cr} \)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\overrightarrow a  = ({x_1};{y_1};{z_1}),\overrightarrow b  = ({x_2};{y_2};{z_2}),\overrightarrow c  = ({x_3};{y_3};{z_3})\)

\(\eqalign{  &\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \matrix{  {y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  {z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  {x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})  \cr  &  =  - ({y_2}{z_1} - {y_1}{z_2};{z_2}{x_1} - {z_1}{x_2};{x_2}{y_1} - {x_1}{y_2})  \cr  &  =  - \left( {\left| \matrix{  {y_2} \hfill \cr  {y_1} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {z_2} \hfill \cr  {z_1} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  {z_2} \hfill \cr  {z_1} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {x_2} \hfill \cr  {x_1} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  {x_2} \hfill \cr  {x_1} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {y_2} \hfill \cr  {y_1} \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  =  - \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right]. \cr} \)

LG b

\(\eqalign{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right] = \overrightarrow 0\cr} \)

Lời giải chi tiết:

Từ câu a) ta có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right] =  - \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right]\) , suy ra \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right] = \overrightarrow 0 \).

LG c

\(\eqalign{\left[ {k\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = k\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left[ {\overrightarrow a ,k\overrightarrow b } \right] &  \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & k\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {k\left| \matrix{  {y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right|;k\left| \matrix{  {z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right|;k\left| \matrix{  {x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = \left( {\left| \matrix{  k{y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  k{z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  k{z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  k{x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  k{x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  k{y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = \left[ {k\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]. \cr} \)

Tương tự \(k\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left[ {\overrightarrow a ,k\overrightarrow b } \right].\)

LG d

\(\eqalign{\left[ {\overrightarrow c ,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right] = \left[ {\overrightarrow c ,\overrightarrow a } \right] + \left[ {\overrightarrow c ,\overrightarrow b } \right]\cr} \)

Lời giải chi tiết:

LG e

\(\eqalign{\overrightarrow a \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \overrightarrow a .\left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] \cr&= {x_1}\left( {\left| \matrix{  {y_2} \hfill \cr  {y_3} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {z_2} \hfill \cr  {z_3} \hfill \cr}  \right| + {y_1}\left| \matrix{  {z_2} \hfill \cr  {z_3} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {x_2} \hfill \cr  {x_3} \hfill \cr}  \right| + {z_1}\left| \matrix{  {x_2} \hfill \cr  {x_3} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {y_2} \hfill \cr  {y_3} \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = {x_3}\left( {\left| \matrix{  {y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right| + {y_3}\left| \matrix{  {z_1} \hfill \cr  {z_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right| + {z_3}\left| \matrix{  {x_1} \hfill \cr  {x_2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {y_1} \hfill \cr  {y_2} \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  & =\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c \cr} \)

LG g

\(\eqalign{\left| {{{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]}^2}} \right| = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {(\overrightarrow a .\overrightarrow b )^2}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{   VP &= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {(\overrightarrow a .\overrightarrow b )^2} \cr&= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\cos^2 \alpha   \cr  &  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}(1 - {\cos ^2}\alpha ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\sin ^2}\alpha  \cr} \)

        \( = {\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right|^2} = VT\) ( ở đây \(\alpha  = (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ))\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua