Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Bài 22 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1).

LG a

Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác .

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {CA} = ( - 1; - 1; - 1),\overrightarrow {CB} = ( - 2; - 1;0)\)

\( \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = \left( {\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right) \)

\(= ( - 1;2; - 1) \ne \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng, tức A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

LG b

Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Chu vi tam giác ABC bằng \(AB + BC + CA = \sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 3 \)

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]} \right| \)

\(= {1 \over 2}\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} = {{\sqrt 6 } \over 2}.\)

LG c

Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Giả sử D = (x,y,z) ta có : \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;0;1),\overrightarrow {DC} = (2 - x;1 - y;1 - z).\)

Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 - x = - 1 \hfill \cr 1 - y = 0 \hfill \cr 1 - z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow D = (3;1;0).\)

LG d

Tính độ dài đường cao \({h_A}\) của tam giác ABC kẻ từ A.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({h_A}\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A, ta có :

\({h_A} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {30} } \over 5}\)

LG e

Tính các góc của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

\({\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = 0 \Rightarrow A = {90^0}\) (tam giác ABC vuông tại A).

\(\eqalign{ & \cos B = {{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \over {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = {2 \over {\sqrt {10} }} = {{\sqrt {10} } \over 5}. \cr & \cos C = {{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \over {\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = {3 \over {\sqrt {15} }} = {{\sqrt {15} } \over 5}. \cr} \)

LG g

Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng A. Vậy H=(1;0;0).

Ta có thể làm cách khác như sau :

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC, ta có hệ

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AH} \text{ đồng phẳng}\hfill \cr} \right. \cr & \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0. \hfill \cr} \right.\)

Ta có :

\(\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = (x - 1;y;z),\overrightarrow {BC} = (2;1;0),\cr&\overrightarrow {BH} = (x;y;z - 1), \cr & \overrightarrow {AB} = ( - 1;0;1),\overrightarrow {AC} = (1;1;1) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 1;2; - 1),\cr&\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 1 - x + 2y - z. \cr} \)

Vậy ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \matrix{ 2x - 2 + y = 0 \hfill \cr x + y + z - 1 = 0 \hfill \cr 1 - x + 2y - z = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x + y = 2 \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr x - 2y + z = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(1;0;0).\)

LG h

Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại A nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó \(I = \left( {1;{1 \over 2};1} \right).\)

Ta có thể làm cách như sau:

Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có hệ

\(\left\{ \matrix{ AI = BI \hfill \cr AI = CI \hfill \cr\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AI} \text{ đồng phẳng} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr A{I^2} = C{I^2} \hfill \cr \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AI} = 0 \hfill \cr} \right. \)