Giải bài tập Cho phương trình
Đề bài
Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0\) (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15\)
c) Tìm điều kiện của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} > 7\)
d) Tìm điều kiện của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\)
e) Tìm m để \(E = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} + 13\) đạt giá trị nhó nhất.
+) Để chứng minh cho phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh cho \(\Delta ' > 0,\forall m\)
+) Kết hợp hệ thức Viet với yêu cầu bài toán để tìm ra m
Hệ thức Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
\({x^2} - 2mx - 1 = 0\)
a) Ta có: \(a = 1;b' = - m;c = - 1;\)
\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 1 = {m^2} + 1 > 0,\forall m\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Áp dụnghệ thức Viet cho phương trình bậc hai ta có:: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = - 1\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) = 15\\ \Leftrightarrow 4{m^2} = 12\\ \Leftrightarrow {m^2} = 3\\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \(m = \sqrt 3 \) hoặc \(m = - \sqrt 3 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) > 7\\ \Leftrightarrow 4{m^2} > 4\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array}\)
TH1:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\)
TH2:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m < - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m < - 1\)
Vậy \(m > 1\) hoặc \(m < - 1\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d)
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 17 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{{17}}{4}\\ \Leftrightarrow \left( {m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}} \right) \le 0\end{array}\)
TH1:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le 0\\m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\\m \ge - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)
TH2:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ge 0\\m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\\m \le - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m \in \emptyset \)
Vậy \(\dfrac{{ - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
e)
\(\begin{array}{l}E = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} + 13\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} + 13\\ = {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) + 13\\ = 4{m^2} + 16\end{array}\)
Ta có: \(4{m^2} \ge 0,\forall m \Rightarrow 4{m^2} + 16 \ge 16,\forall m\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 16, dấu “=” xảy ra khi m = 0.
Loigiaihay.com
>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com
Lớp 12
