
Đề bài
Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0\) (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15\)
c) Tìm điều kiện của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} > 7\)
d) Tìm điều kiện của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\)
e) Tìm m để \(E = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} + 13\) đạt giá trị nhó nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Để chứng minh cho phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh cho \(\Delta ' > 0,\forall m\)
+) Kết hợp hệ thức Viet với yêu cầu bài toán để tìm ra m
Hệ thức Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
\({x^2} - 2mx - 1 = 0\)
a) Ta có: \(a = 1;b' = - m;c = - 1;\)
\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 1 = {m^2} + 1 > 0,\forall m\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Áp dụnghệ thức Viet cho phương trình bậc hai ta có:: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = - 1\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) = 15\\ \Leftrightarrow 4{m^2} = 12\\ \Leftrightarrow {m^2} = 3\\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \(m = \sqrt 3 \) hoặc \(m = - \sqrt 3 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) > 7\\ \Leftrightarrow 4{m^2} > 4\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array}\)
TH1:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\)
TH2:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m < - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m < - 1\)
Vậy \(m > 1\) hoặc \(m < - 1\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d)
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 17 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{{17}}{4}\\ \Leftrightarrow \left( {m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}} \right) \le 0\end{array}\)
TH1:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le 0\\m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\\m \ge - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)
TH2:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ge 0\\m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\\m \le - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m \in \emptyset \)
Vậy \(\dfrac{{ - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
e)
\(\begin{array}{l}E = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} + 13\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} + 13\\ = {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) + 13\\ = 4{m^2} + 16\end{array}\)
Ta có: \(4{m^2} \ge 0,\forall m \Rightarrow 4{m^2} + 16 \ge 16,\forall m\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 16, dấu “=” xảy ra khi m = 0.
Loigiaihay.com
Giải bài tập Tích của hai số tự nhiên lớn hơn tổng của chúng là 7. Tìm hai số đó.
Giải bài tập An và Bình cùng đi xe đạp từ Thành phố Hồ Chí Minh lên Biên Hòa với khoảng cách 30 km. An
Giải bài tập Một con đò dọc đưa khách đi từ đầu nguồn đến cuối nguồn, nghỉ 30 phút để đón khách rồi quay
Giải bài tập Cho phương trình bậc hai với m là tham số
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: