Bài 94 trang 20 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 94 trang 20 sách bài tập toán 9. Chứng minh: x^3 + y^3 + z^3-3xyz=...

Đề bài

Chứng minh: 

\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)

Từ đó chứng tỏ:

a) Với ba số \(x, y, z\) không âm thì \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3}\ge xyz\)

b) Với ba số \(a, b, c\) không âm thì \(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \root 3 \of {abc} \)

(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số \(a, b, c\) bằng nhau. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng hằng đẳng thức:

\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

- Biến đổi cơ bản biểu thức và chứng minh vế phải bằng vế trái.

Lời giải chi tiết

Ta có: 

\(\dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) 

\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\)

\( = \left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

\( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\)

\( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\)

\( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\)

\( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

a) Nếu \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) thì:

\(x + y + z \ge 0\)

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\) 

Theo đẳng thức đã chứng minh ở trên, suy ra: 

\(\eqalign{
& {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr} \)

Hay: \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge xyz\) 

b) Nếu \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) thì \(\root 3 \of a  \ge 0,\root 3 \of b  \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \)

Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm.

Từ chứng minh câu a, ta có: \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge xyz\) 

Hay: 

\(\eqalign{
& {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of c } \right)}^3}} \over 3} \cr 
& \ge \left( {\root 3 \of a } \right)\left( {\root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of c } \right) \cr 
& \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \) 

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 9. Căn bậc ba

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài