Giải SBT đại số, hình học toán lớp 9 tập 1, tập 2 Bài 9. Căn bậc ba

Bài 94 trang 20 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 94 trang 20 sách bài tập toán 9. Chứng minh: x^3 + y^3 + z^3-3xyz=...

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Chứng minh: 

\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)

Từ đó chứng tỏ:

a) Với ba số \(x, y, z\) không âm thì \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3}\ge xyz\)

b) Với ba số \(a, b, c\) không âm thì \(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \root 3 \of {abc} \)

(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số \(a, b, c\) bằng nhau. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng hằng đẳng thức:

\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

- Biến đổi cơ bản biểu thức và chứng minh vế phải bằng vế trái.

Lời giải chi tiết

Ta có: 

\(\dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) 

\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\)

\( = \left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

\( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\)

\( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\)

\( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\)

\( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

a) Nếu \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) thì:

\(x + y + z \ge 0\)

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\) 

Theo đẳng thức đã chứng minh ở trên, suy ra: 

\(\eqalign{
& {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr} \)

Hay: \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge xyz\) 

b) Nếu \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) thì \(\root 3 \of a  \ge 0,\root 3 \of b  \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \)

Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm.

Từ chứng minh câu a, ta có: \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge xyz\) 

Hay: 

\(\eqalign{
& {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of c } \right)}^3}} \over 3} \cr 
& \ge \left( {\root 3 \of a } \right)\left( {\root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of c } \right) \cr 
& \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \) 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 11 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua