Bài 87 trang 19 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 87 trang 19 sách bài tập toán 9. Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức....a + b + c...

Đề bài

Với ba số  \(a, b, c\) không âm, chứng minh bất đẳng thức: 

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách 1: Áp dụng:

\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số \(a,b\) không âm \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết

Cách 1: 

Vì \(a, b\) và \(c\) không âm nên \(\sqrt a;\sqrt b \) và \(\sqrt c \) tồn tại.

Ta có: \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr 
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)

\({\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr 
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)

\({\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr 
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

\(\dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) 

\(\Leftrightarrow \dfrac{{2a + 2b+2c}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) 

\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số không âm \(a, b, c\) ta có:

\(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (1)

\(\dfrac{{b + c}}{2} \ge \sqrt {bc} \) (2)

\(\dfrac{{a + c}}{2} \ge \sqrt {ac} \) (3)

Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ac} \)

Suy ra, điều phải chứng minh.

+) Với bốn số \(a, b, c, d\) không âm, ta có:

\(a + b + c + d \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {da} \)

+) Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

\(a + b + c + d + e \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {de}  + \sqrt {ea} \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 8 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài