Bài 42 trang 174 SBT toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 42 trang 174 sách bài tập toán 9. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau: BC = AB + 2a (1)

Đề bài

Độ dài các cạnh của một tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), thỏa mãn các hệ thức sau:

\(BC = AB + 2a \)  (1)

\(\displaystyle AC = {1 \over 2}\left( {BC + AB} \right)\) (2)

\(a\) là một độ dài cho trước

a) Tính theo \(a\), độ dài các cạnh và chiều cao \(AH\) của tam giác.

b) Tam giác \(ABC\) nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm \(O.\) Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó.

c) Cho tam giác \(ABC\) quay một vòng quanh cạnh huyền \(BC.\) Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung \(AB\) và \(AC\) tạo ra.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đặt độ dài cạnh \(AB = x\); điều kiện \(x > 0\). Suy ra \(BC=x+2a\).

Theo định lí Pytago lập phương trình bậc hai ẩn \(x\), từ đó giải phương trình tìm \(x\).

b) Diện tích tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(a;\,b\) là \(S = \dfrac{1}{2}ab\).

Diện tích hình tròn bán kính \(r\) là \(S = \pi {r^2}.\)

c) Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r\), đường sinh \(l\) là \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết

a) Đặt độ dài cạnh \(AB = x\); điều kiện \(x > 0\).

Theo điều kiện (1) ta có: \(BC = x + a\)  (3)

Từ (2) và (3) \( \Rightarrow\displaystyle AC = {1 \over 2}\left( {x + 2a + x} \right) = x + a\)

Áp dụng định lí Pitago vào \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {x + 2a} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x + a} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {x^2} + 4ax + 4{a^2} = {x^2} + {x^2} + 2ax \)\(\,+ {a^2} \)

\( \Rightarrow{x^2} - 2ax - 3{a^2} = 0 \)

\( \Delta = {\left( { - 2a} \right)^2} - 4.1\left( { - 3{a^2}} \right) \)\(\,= 4{a^2} + 12{a^2} = 16{a^2} > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {16{a^2}} = 4a \)

\(\displaystyle {x_1} = {{2a + 4a} \over {2.1}} = {{6a} \over 2} = 3a \)

\(\displaystyle {x_2} = {{2a - 4a} \over {2.1}} = - a \)

Vì \(x > 0\) \( \Rightarrow {x_2} =  - a\)  (loại)

Vậy cạnh \(AB = 3a; AC = 3a + a = 4a;\) \(BC = 3a + 2a =5a\).

Ta có \(AH.BC = AB.AC\)

\( \displaystyle \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{3a.4a} \over {5a}} \)\(\,\displaystyle  = {{12a} \over 5}\)

b) Diện tích của \(\Delta ABC\) là:

\(\displaystyle {S_1} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.3a.4a = 6{a^2}\) (đơn vị diện tích)

\(\Delta ABC\) nội tiếp trong (O) bán kính đường tròn: \(\displaystyle R = {{BC} \over 2} = {{5a} \over 2}\)

Diện tích nửa hình tròn là: \(\displaystyle {S_2} = {1 \over 2}\pi .{r^2} = {1 \over 2}\pi .{\left( {{{5a} \over 2}} \right)^2} \)\(\,\displaystyle  = {{25\pi {a^2}} \over 8}\)

Phần diện tích nửa hình tròn nằm ngoài tam giác là:

\(\displaystyle S = {S_2} - {S_1} = {{25\pi {a^2}} \over 8} - 6{a^2}\)\(\,\displaystyle = {{{a^2}} \over 8}\left( {25\pi  - 48} \right)\)

c) Khi quay \(\Delta ABC\) một vòng quanh cạnh \(BC\) thì \(AB\) và \(AC\) vạch lên hai hình nón có bán kính đáy là \(AH.\)

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung \(AB\) tạo ra là: 

\(\displaystyle {S_1} = \pi .AH.AB = \pi .AH.3a\)

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung cung \(AC\) tạo ra là:

\( {S_2} = \pi .AH.AC = \pi AH.4a \)

Tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung \(AB\) và \(AC\) tạo ra là:

\(\displaystyle {{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{\pi .AH.3a} \over {\pi .AH.4a}} = {3 \over 4}  \).

Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com