Bài 3.61 trang 168 SBT hình học 10


Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)  : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) và đường thẳng \(d:x - y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C’) và (C).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

- Tìm tọa độ điểm \(J\) đối xứng với \(I\) qua \(d\).

- Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) đối xứng \(\left( C \right)\) qua \(d\) thì có tâm \(J\) và bán kính \(R\).

- Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Tìm nghiệm và kết luận.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right).\) 

Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với d nên nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT.

\(\Delta\) có phương trình :

\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Tọa độ giao điểm H của d và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \) \(\Rightarrow H\left( {2;1} \right)\) 

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3\\{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow J(3;0).\)  

Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là \(J\left( {3;0} \right)\) và bán kính R = 2.

Do đó (C ’) có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\2{x^2} - 8x + 6 = 0\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 0\\x = 3,y = 2.\end{array} \right.\) 

Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.