Đề toán tổng hợp chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt..

Bài 3.51 trang 166 SBT hình học 10

Giải bài 3.51 trang 166 sách bài tập hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A ...

Đề bài

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A có \(A(-1;4)\) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : \(\Delta :x - y - 4 = 0\) .

a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng \(\Delta \).

b) Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng \(18\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng \(d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

b) Sử dụng điều kiện \(AB = AC\) \( \Leftrightarrow B,C\) thuộc đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB = AC\), kết hợp với \(B,C \in \Delta \), lập hệ phương trình và giải hệ suy ra \(B,C\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là hình chiếu của A trên \(\Delta \), suy ra H là trung điểm của BC.

\(AH = d(A,BC)\) \( = \dfrac{{\left| { - 1 - 4 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{9}{{\sqrt 2 }}\)

b) \(BC = \dfrac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AH}} \) \( = \dfrac{{2.18}}{{\frac{9}{{\sqrt 2 }}}} = 4\sqrt 2 \)

Theo định lí Py-ta-go ta có:

\(AB = AC = \sqrt {A{H^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{4}} \) \( = \sqrt {\dfrac{{81}}{2} + \dfrac{{32}}{4}} = \sqrt {\dfrac{{97}}{2}} \)

Do đó \(B,C\) thuộc đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB = \sqrt {\dfrac{{97}}{2}} \).

Phương trình đường tròn \({\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 4)^2} = \dfrac{{97}}{2}\).

Tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 4)^2} = \dfrac{{97}}{2}\\x - y - 4 = 0\,.\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{11}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\) hoặc \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)\) .

Vậy \(B\left( {\dfrac{{11}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\,,\,C\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)\) hoặc \(B\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)\,,C\left( {\dfrac{{11}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\,.\)

Loigiaihay.com