Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9 Bài tập - Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường ca..

Bài 9 trang 74 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1


Giải bài tập Cho tứ giác ABCD có AB = AC = AD = 20 cm,

Đề bài

Cho tứ giác ABCD có AB = AC = AD = 20 cm, góc B bằng \({60^o}\) và góc A bằng \({90^o}\).

a) Tính đường chéo BD.

b) Tính khoảng cách BH và DK từ hai điểm B và D đến AC.

c) Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài. Tính BE, CE, DC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A để tính BD

b) Tính góc BAC và CAD từ dữ kiện đề bài từ đó sử dụng các hệ thức lượng giác để tính.

c) Tính góc BCE từ đó sử dụng các hệ thức lượng giác để tính BE, CE. Sử dụng định lý Pythagore tính ED từ đó suy ra CD.

Lời giải chi tiết

a) Tính đường chéo BD.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\)\(\, = {20^2} + {20^2} = {2.20^2}\)

\(\Rightarrow BD = 20\sqrt 2 \) (cm)

b) Tính khoảng cách BH và DK từ hai điểm B và D đến AC.

Ta có AC = AB (gt) \( \Rightarrow \)\(\Delta \) ABC cân tại A mà góc B bằng \({60^o}\) \( \Rightarrow \)\(\Delta \) ABC đều

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BAC} = {60^o}\)

Xét \(\Delta \)BHA vuông tại H, ta có:

\(\sin \left( {\widehat {BAC}} \right) = \dfrac{{BH}}{{AB}}\)

\(\Rightarrow BH = AB.\sin \left( {\widehat {BAC}} \right) \)\(\,= 20.\sin {60^o} = 10\sqrt 3 \) (cm)

Lại có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAD} = \angle BAD\)

\(\Rightarrow \widehat{ CAD }= \widehat {BAD} - \widehat {BAC} \)\(\,= {90^o} - {60^o} = {30^o}\)

Xét \(\Delta \) DKA vuông tại K, ta có:

\(\sin \left( {\widehat {DAK}} \right) = \dfrac{{DK}}{{AD}}\)

\(\Rightarrow DK = AD.\sin \left( {\widehat {DAK}} \right)\)\(\, = 20.\sin {30^o} = 10\) (cm)

c) Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài. Tính BE, CE, DC.

Ta có: AC = AD (gt) \( \Rightarrow \)\(\Delta \)ACD cân tại A \( \Rightarrow \)\(\widehat {ACD} = \widehat {ADC}\)

Theo định lý tổng 3 góc trong tam giác ACD có:

\(\widehat {DAC} + \widehat {ACD} + \widehat {ADC} = {180^o}\)hay \({30^o} + \widehat {ACD} + \widehat {ACD} = {180^o}\)

\(\Rightarrow \widehat {ACD} = {75^o}\)

Có \(\Delta \)ABC đều (cmt) \( \Rightarrow \)\(\widehat {ACB} = {60^o}\); BC = AB = AD = 20 cm

Lại có \(\widehat {ACD} + \widehat {ACB} + \widehat {BCE} = {180^o}\)

\(\Rightarrow \widehat {BCE} = {180^o} - \widehat {ACD} - \widehat {ACB}\)\(\, = {180^o} - {75^o} - {60^o} = {45^o}\)

\( \Rightarrow \Delta \)BEC vuông cân tại E.

Xét \(\Delta \)BEC vuông cân tại E, ta có:

\(\sin \left( {\widehat {BCE}} \right) = \dfrac{{BE}}{{BC}}\)

\(\Rightarrow BE = BC.\sin \left( {\widehat {BCE}} \right) \)\(\,= 20.\sin {45^o} = 10\sqrt 2 \) (cm)

CE = BE = \(10\sqrt 2 \) cm

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BDE vuông tại E:

\(E{D^2} = B{D^2} - B{E^2}\)\(\, = {2.20^2} - {\left( {10\sqrt 2 } \right)^2} = 600 \)

\(\Rightarrow ED = 10\sqrt 6 \) (cm)

\( \Rightarrow CD = ED - EC = 10\sqrt 6  - 10\sqrt 2\)\(\,  = 10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)\)  (cm)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store