Bài 45* trang 163 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 45* trang 163 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) các đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Vẽ đường tròn \((O)\) có đường kính \(AH.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) Điểm \(E\) nằm trên đường tròn \((O);\) 

\(b)\) \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AH\)

Tam giác \(AEH\) vuông tại \(E\) có \(EO\) là đường trung tuyến nên:

\( EO = OA = OH =\displaystyle{{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm \(E\) nằm trên đường tròn \(\left( \displaystyle{O;{{AH} \over 2}} \right)\)

\(b)\) Ta có: \(OH = OE\)

suy ra tam giác \(OHE\) cân tại \(O\)

suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\)       \( (1)\)

Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh)  \((2)\)

Trong tam giác \(BDH\) ta có:

\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) \((3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra:

\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \)   \((4)\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AD ⊥ BC\) nên AD là đường trung tuyến, suy ra \(BD = CD\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) có \(ED\) là đường trung tuyến nên:

\(ED = BD = \displaystyle{{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác \(BDE\) cân tại \(D\)

Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\)     \((5)\)

Từ \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)

Suy ra: \(DE ⊥ EO.\) Vậy \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài