Bài 45* trang 163 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 45* trang 163 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) các đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Vẽ đường tròn \((O)\) có đường kính \(AH.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) Điểm \(E\) nằm trên đường tròn \((O);\)

\(b)\) \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AH\)

Tam giác \(AEH\) vuông tại \(E\) có \(EO\) là đường trung tuyến nên:

\( EO = OA = OH =\displaystyle{{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm \(E\) nằm trên đường tròn \(\left( \displaystyle{O;{{AH} \over 2}} \right)\)

\(b)\) Ta có: \(OH = OE\)

suy ra tam giác \(OHE\) cân tại \(O\)

suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\) \( (1)\)

Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh) \((2)\)

Trong tam giác \(BDH\) ta có:

\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) \((3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra:

\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \) \((4)\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AD ⊥ BC\) nên AD là đường trung tuyến, suy ra \(BD = CD\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) có \(ED\) là đường trung tuyến nên:

\(ED = BD = \displaystyle{{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác \(BDE\) cân tại \(D\)

Suy ra: \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\) \((5)\)

Từ \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)

Suy ra: \(DE ⊥ EO.\) Vậy \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 11 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 46 trang 163 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 46 trang 163 sách bài tập toán 9. Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.
Bài 47 trang 163 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 47 trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
Bài 5.1 phần bài tập bổ sung trang 164 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 5.1 phần bài tập bổ sung trang 164 sách bài tập toán 9. Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau:...
Bài 5.2 phần bài tập bổ sung trang 164 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 5.2 phần bài tập bổ sung trang 164 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Gọi M là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 44 trang 163 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 44 trang 163 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B ; BA) và đường tròn (C ; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Bài 43 trang 163 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 43 trang 163 sách bài tập toán 9. Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
Bài 42 trang 163 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 42 trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).