Bài 26 trang 67 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 26 trang 67 sách bài tập toán 9. Cho hai đường thẳng: y = ax + b (d); y = a’x + b’ (d’) Chứng minh rằng :...

Đề bài

Cho hai đường thẳng

 \(y = ax + b\)                   (d)

\(y = a’x + b’\)                 (d’)

Chứng minh rằng :

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ , hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = 1.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc là \(a.\)

Lời giải chi tiết

Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng \(y = ax\) // (d) và \(y = ax\) // (d’).

*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì \(a. a’ = -1\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a > 0\)

Khi đó góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \(y = ax\) là góc nhọn.

Suy ra góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \(y = a’x\) là góc tù ( vì các góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax\) và đường thẳng \(y = a’x\) với tia \(Ox\) hơn kém nhau \(90^0).\)

Suy ra: \(a’ < 0\)

Mà đường thẳng \(y = ax\) đi qua \(A(1;a)\), đường thẳng \(y = a’x\) đi qua \(B(1;a’)\)

nên đoạn \(AB\) vuông góc với \(Ox\) tại điểm H có hoành độ bằng \(1.\)

Vì \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\) nên hai đường thẳng \(y = ax\) và \(y = a’x\) vuông góc với nhau

Suy ra: \(\widehat {AOB} = {90^0}\)

Tam giác vuông AOB có \(OH \bot AB\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : \(O{H^2} = HA.HB\)

Hay: \(a.\left| {a'} \right| = 1 \Leftrightarrow a.\left( { - a'} \right) = 1 \Leftrightarrow a.a' =  - 1\)

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì \( a.a’ = -1\)

*Chứng minh \(a.a' =  - 1\) thì (d) vuông góc với (d’)

Ta có : \(a.a' =  - 1\)\( \Leftrightarrow a.\left| {a'} \right| = 1\) hay \(HA.HB = O{H^2}\)

Suy ra: \(\dfrac{{HA}}{{OH}} = \dfrac{{OH}}{{HB}}\) mà \( \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0}\)

Suy ra: \(\Delta OHA\) đồng dạng \(\Delta BHO \)\(\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {OBH}\)

Mà \(\widehat {OBH} + \widehat {BOH} = {90^0} \)\(\Rightarrow \widehat {AOH} + \widehat {BOH} = {90^0}\)\(\Rightarrow \widehat {AOH}=90^0\)

Suy ra \(OA \bot OB\) hay hai đường thẳng \(y = ax\) và \(y = a’x\) vuông góc với nhau.

Vậy \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài