Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản Bài 2: Tích vô hướng của hai vec tơ

Bài 2.20 trang 92 SBT hình học 10


Giải bài 2.20 trang 92 sách bài tập hình học 10. Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC...

Đề bài

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA}  = \dfrac{1}{4}B{C^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xen điểm thích hợp, tính tích vô hướng, chú ý các cặp véc tơ vuông góc có tích vô hướng bằng \(0\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\), \(\overrightarrow {HM}  = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} )\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB}  + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {.HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} )\)

\( = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {HC}  + \overrightarrow {CB} ) + \overrightarrow {AC} .(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {BC} )} \right]\)

\( = \dfrac{1}{4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_0 + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\)

\( = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CB}  = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {CB} ^2} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store