Bài 15 trang 38 SBT toán 7 tập 2


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, M \) là trung điểm của \(AC.\) Gọi \(E\) và \(F\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(C\) đến đường thẳng \(BM.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle AB < {{BE + BF} \over 2}.\) 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

+) Chứng minh hai tam giác \(AEM\) và \(CFM\) bằng nhau từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

Từ đó lập luận để có điều cần chứng minh.

Lời giải chi tiết

Trong \(∆ABM\) có \(\widehat {BAM} = 90^\circ \) nên  \(∆ABM\) vuông tại A.

\( \Rightarrow AB < BM\) (trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)

Mà \(BM = BE + EM = BF – MF\)

Do đó: \(AB <  BE  + EM\)  (1)

Và \( AB <  BF – FM\) (2)

Suy ra:  \(AB  + AB  <  BE +  ME +  BF  - MF \)  (3)

Xét hai tam giác vuông \(AEM\) và \(CFM:\)

+) \(\widehat {A{\rm{E}}M} = \widehat {CFM} = 90^\circ \)

+) \(AM = CM\) (gt)

+) \(\widehat {AM{\rm{E}}} = \widehat {CMF}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(∆AEM = ∆CFM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow ME = MF\)   (hai cạnh tương ứng)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra   :  \(AB  + AB <  BE + BF\)

\( \Rightarrow 2{\rm{A}}B < BE + BF \)\(\displaystyle \Rightarrow AB < {{BE + BF} \over 2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 13 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.