Bài 8 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
3.2 trên 11 phiếu

Giải bài 8 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2, 5)

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0\) có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng \((-2, 5)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

- Xét hàm số \(f(x)=x^5– 3x^4+ 5x – 2\)

- Thay một số giá trị của \(x\) (trong khoảng \((-2;5)\) vào \(f(x)\) và tính giá trị.

- Sử dụng lý thuyết trên đánh giá số nghiệm ít nhất của phương trình trong khoảng \((-2;5)\).

Lời giải chi tiết

Đặt \(f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2\), ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
f( - 2) = {( - 2)^5} - 3{( - 2)^4} + 5( - 2) - 2 < 0 \hfill \cr
f(0) = - 2 < 0 \hfill \cr
f(1) = 1 - 3 + 5 - 2 = 1 > 0 \hfill \cr
f(2) = {2^5} - {3.2^4} + 5.2 - 2 = - 8 < 0 \hfill \cr
f(3) = {3^5} - {3.3^4} + 5.3 - 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
f(0).f(1) < 0\,\,\,\,(1) \hfill \cr
f(1).f(2) < 0\,\,\,\,(2) \hfill \cr
f(2).f(3) < 0\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Hàm số \(f(x)\) là hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb R\).

\(⇒\) Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các đoạn \([0, 1], [1, 2], [2, 3]\)    (4)

Từ (1) và (4) suy ra phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất một nghiệm trên khoảng \((0, 1)\).

Từ (2) và (4) suy ra phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất một nghiệm trên khoảng \((1, 2)\).

Từ (3) và (4) suy ra phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất một nghiệm trên khoảng \((2, 3)\).

Mà các khoảng \(\left( {0;1} \right)\), \( \left( {1;2} \right)\) và \( \left( {2;3} \right)\) đôi một không có điểm chung.

Vậy phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất ba nghiệm trên khoảng \((-2, 5)\) (đpcm)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Ôn tập chương IV - Giới hạn

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng