SBT Toán lớp 11 Nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 46 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD với \(AB = a,AC = {{2{\rm{a}}\sqrt 6 } \over 3}\). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm tại O của hai đường chéo hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB  = a. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ASC vuông.

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = 4{{\rm{a}}^2},AC = {{2{\rm{a}}\sqrt 6 } \over 3}\)

nên \(B{{\rm{D}}^2} = {{4{{\rm{a}}^2}} \over 3} \Rightarrow O{B^2} = {{{a^2}} \over 3}\)

Xét tam giác vuông SOB, ta có

\(S{O^2} = S{B^2} - O{B^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 3} \Rightarrow SO = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)

Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông tại S.

b) Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vuông góc với SA thì \(SA \bot mp\left( {{A_1}B{\rm{D}}} \right)\), từ đó \(\widehat {B{A_1}D}\)  hoặc \({180^0} - \widehat {B{A_1}D}\), là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Ta có

\(\eqalign{  & O{A_1} = {{OA.OS} \over {SA}} = {{OA.OS} \over {\sqrt {O{A^2} + O{S^2}} }}  \cr  &  = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 2  = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

Mặt khác \(B{\rm{D}} = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\), từ đó \(\widehat {B{A_1}D} = {90^0}\) hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

Các bài liên quan: - Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store
Hỏi bài

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua