Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho \(\overrightarrow {IB}  = k\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow {J{\rm{A}}}  = k\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {K{\rm{A}}}  = k\overrightarrow {K{\rm{D}}} \) trong đó k là số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng:

a) MN ⊥ IJ và MN ⊥IK

b) AB ⊥ CD

Lời giải chi tiết

 

a) Từ

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IB}  = k\overrightarrow {IC}   \cr  & \overrightarrow {J{\rm{A}}}  = k\overrightarrow {JC}  \cr} \)

ta có IJ // AB.

Tương tự, ta có IK // CD.

Do các cạnh của tứ diện ABCD bằng nhau và N là trung điểm của CD nên NA = NB.

Mặt khác MA = MB do đó MN ⊥ AB, suy ra MN ⊥ IJ.

Tương tự như trên, ta có MN ⊥ CD và IK // CD nên MN ⊥ JK.

b) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {NB} \).

Từ giả thiết, ta có:

\(AN \bot C{\rm{D}}\) tức là \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\);

\(BN \bot C{\rm{D}}\) tức là \(\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = \left( {\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {NB} } \right).\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\)  tức là \(AB \bot C{\rm{D}}\) .

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí