Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 43 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 43 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính góc giữa mp(SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB), (SCD).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì \(MN \bot AB,SO \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SMN} \right)\). Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) cũng bằng 90°.

Tương tự, góc giữa (SMN) và (SCD) cũng bằng 90°.

Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tùy ý thì (SMN) vuông góc cả với hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Dễ thấy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = St,St//AB\).

Như vậy \(St \bot \left( {SMN} \right)\), từ đó \(\widehat {M{\rm{S}}N}\) hoặc \({180^0} - \widehat {M{\rm{S}}N}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Tính \(\widehat {M{\rm{S}}N}\).

Ta có

\(S{M^2} = S{N^2} = {h^2} + {a^2} \)

\(M{N^2} = S{M^2} + S{N^2} - 2{\rm{S}}M.SN\cos \widehat {MSN}  \)

\(\Leftrightarrow 4{a^2} = {h^2} + {a^2} + {h^2} + {a^2} - 2\left( {{h^2} + {a^2}} \right)\cos \widehat {MSN} \)

tức là \(\cos \widehat {MSN} = {{2{h^2} - 2{a^2}} \over {2\left( {{h^2} + {a^2}} \right)}} = {{{h^2} - {a^2}} \over {{h^2} + {a^2}}}.\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là α mà \(\cos \alpha  = \left| {{{{h^2} - {a^2}} \over {{h^2} + {a^2}}}} \right|\).

Từ đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc khi và chỉ khi h = a.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua