Câu 28 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 28 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

b) Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.

Lời giải chi tiết

 

a) Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó

\(\eqalign{  & D{H^2} = D{A^2} - A{H^2}  \cr  &  = {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over 9}  \cr  &  \Rightarrow DH = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

Do I là trung điểm của DH nên

\(IH = {{a\sqrt 6 } \over 6}\)

Khi đó: \(I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} = {\left( {{{a\sqrt 6 } \over 6}} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 4}\),

tức là \(IM = {a \over 2}\).

Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến \(IM = {1 \over 2}BC\). Vậy \(IB \bot IC\).

Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

b) Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.

Ngoài ra \({1 \over {I{H^2}}} = {1 \over {I{A^2}}} + {1 \over {I{B^2}}} + {1 \over {I{C^2}}} = {3 \over {I{A^2}}}\) hay \(IH = {{IA} \over {\sqrt 3 }}\).

Do D là điểm đối xứng của H qua I nên:

\(DH = {{2IA} \over {\sqrt 3 }}\) và DA = DB = DC.

Đặt IA = x thì \(DH = {{2{\rm{x}}} \over {\sqrt 3 }},AB = x\sqrt 2 \).

Khi đó

\(\eqalign{  & D{A^2} = D{H^2} + H{A^2} = {{4{x^2}} \over 3} + {\left( {{{x\sqrt 2 .\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2}  \cr  &  = {{4{{\rm{x}}^2}} \over 3} + {{2{{\rm{x}}^2}} \over 3} = 2{{\rm{x}}^2} \cr} \).

Vậy \(DA = DB = DC = x\sqrt 2 \).

Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài