Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và \(DA \bot mp\left( {ABC} \right),AB = AC = a,BC = {6 \over 5}a\). Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuông góc với MD (H thuộc đường thẳng MD).

a) Chứng minh rằng \(AH \bot mp\left( {BC{\rm{D}}} \right)\).

b) Cho \(A{\rm{D}} = {4 \over 5}a\). Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.

c) Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng \({G_1}{G_2} \bot mp\left( {ABC} \right)\).

Lời giải chi tiết

 

a) Vì M là  trung điểm của BC nên \(AM \bot BC\), mặt khác \(DA \bot \left( {ABC} \right)\) nên BC vuông góc với mp(DAM), từ đó \(BC \bot AH\).

Mà \(DM \bot AH\).

Vậy \(AH \bot mp\left( {DBC} \right)\).

b) Kẻ MN song song với AC (N ∈ AB) thì góc giữa DM và AC bằng góc giữa DM và MN, đó là \(\widehat {DMN}\) hoặc \({180^0} - \widehat {DMN}\).

Ta có:

\(\eqalign{  & MN = {1 \over 2}AC = {a \over 2},AN = {a \over 2}.  \cr  & D{N^2} = D{A^2} + A{N^2} = {{16} \over {25}}{a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{89} \over {100}}{a^2}  \cr  & A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {{9{{\rm{a}}^2}} \over {25}} = {{16{{\rm{a}}^2}} \over {25}}  \cr  &  \Rightarrow AM = {{4{\rm{a}}} \over 5}. \cr} \)

Mặt khác \(A{\rm{D}} = {{4{\rm{a}}} \over 5}\) do đó \(DM = {{4{\rm{a}}\sqrt 2 } \over 5}\).

\(\eqalign{  & D{N^2} = D{M^2} + M{N^2} - 2{\rm{D}}M.MN\cos \widehat {DMN}  \cr  & {{89} \over {100}}{a^2} = {{2.16{a^2}} \over {25}} + {{{a^2}} \over 4} - 2.{{4a\sqrt 2 } \over 5}.{a \over 2}\cos \widehat {DMN}  \cr  &  = {{153{a^2}} \over {100}} - {{4{a^2}\sqrt 2 } \over 5}\cos \widehat {DMN}  \cr  &  \Rightarrow {{4{a^2}\sqrt 2 } \over 5}\cos \widehat {DMN} = {{64{a^2}} \over {100}}  \cr  &  \Rightarrow \cos \widehat {DMN} = {{2\sqrt 2 } \over 5}. \cr} \).

Vậy góc giữa AC và DM là α mà \(\cos \alpha  = {{2\sqrt 2 } \over 5}\) .

c) Dễ thấy G1G2 // DA mà DA ⊥ (ABC) nên \({G_1}{G_2} \bot \left( {ABC} \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store