Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 31 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 31 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó đều nhọn).

Lời giải chi tiết

Giả sử ABCD là tứ diện có tính chất \(AB \bot C{\rm{D}},AC \bot B{\rm{D}},A{\rm{D}} \bot BC\).

Ta có:

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} = A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\).

Từ đó, ta có

\(\eqalign{  & A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = A{C^2} + A{{\rm{D}}^2} - C{{\rm{D}}^2}  \cr  &  = A{{\rm{D}}^2} + A{B^2} - B{{\rm{D}}^2} \cr} \)

Hệ thức này khẳng định các góc \(\widehat {BAC},\widehat {CA{\rm{D}}},\widehat {DAB}\) hoặc cùng nhọn, cùng vuông hoặc cùng tù.

Tương tự như trên, ta chứng minh được góc tại bất cứ đỉnh nào của tứ diện ABCD cũng có tính chất đó. Do tính chất tổng các góc trong của một tam giác bằng 1800 nên tồn tại nhiều nhất một đỉnh của tứ diện mà tại đó ba góc cùng vuông hay cùng tù. Khi ấy mặt đối diện với đỉnh đó của tứ diện ABCD có cả ba góc đều nhọn.

Vậy nên \(AB \bot C{\rm{D}},AC \bot B{\rm{D}}\) và \(A{\rm{D}} \bot BC\) thì trong bốn mặt của tứ diện ABCD có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó nhỏ hơn 90°).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store