SBT Toán lớp 11 Nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 20 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho \(\overrightarrow {MB}  = k\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {NA}  = k\overrightarrow {ND} \) với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ; β là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {C{\rm{D}}} \). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để \(\alpha  = \beta  = {45^0}\).

Lời giải chi tiết

 

Kẻ MP // AB thì dễ thấy NP // CD. Từ đó, góc giữa \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BA} \) bằng góc giữa ­\(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \), đó là góc \(\widehat {PMN}\). Góc giữa \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {C{\rm{D}}} \) bằng góc giữa \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PN} \), đó là góc \(\widehat {PNM}\).

Vậy hai góc trên bằng nhau và bằng 45° khi và chỉ khi:

MP = NP và \(\widehat {MPN} = {90^0}\)

Từ đó, suy ra \({{CP} \over {CA}}.AB = {{AP} \over {AC}}.C{\rm{D}}\)  và \(AB \bot C{\rm{D}}\)

hay \({{AB} \over {C{\rm{D}}}} = {{AP} \over {CP}}\)  và \(AB \bot C{\rm{D}}\)

Mặt khác, ta có \(\overrightarrow {PA}  = k\overrightarrow {PC}  \Rightarrow {{AP} \over {PC}} = \left| k \right|\) .

Vậy giữa AB và CD có mối liên hệ

\({{AB} \over {C{\rm{D}}}} = \left| k \right|\)  và \(AB \bot C{\rm{D}}\)

thì góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BA} \) bằng góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {C{\rm{D}}} \), cùng bằng 45°).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

Các bài liên quan: - Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store
Hỏi bài

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua