Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 17 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 17 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^0},\widehat {BAA'} = \widehat {DAA'} = {120^0}\) .

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.

b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.

c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow x ,\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow y ,\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow z \)  thì

\(\eqalign{  & {\overrightarrow x ^2} = {\overrightarrow y ^2} = {\overrightarrow z ^2} = {a^2}  \cr  & \overrightarrow x .\overrightarrow y  = {{{a^2}} \over 2};  \cr  & \overrightarrow x .\overrightarrow z  =  - {{{a^2}} \over 2};  \cr  & \overrightarrow y .\overrightarrow z  =  - {{{a^2}} \over 2} \cr} \)

a) Vì AB // A’B’ nên góc giữa AB và A’D bằng góc giữa A’B’ và A’D, đó là góc \(\widehat {DA'B'}\)  hoặc \({180^0} - \widehat {DA'B'}\) .

Đặt \(\widehat {DA'B'} = \alpha \).

Ta có:

 \(\eqalign{  & A'D = a\sqrt 3 ,A'B' = a  \cr  & \overrightarrow {DB'}  = \overrightarrow x  - \overrightarrow y  + \overrightarrow z   \cr  &  \Rightarrow {\overrightarrow {DB'} ^2} = 3{{\rm{a}}^2} - {a^2} - {a^2} + {a^2} = 2{{\rm{a}}^2} \cr} \)

Vậy \(2{{\rm{a}}^2} = {a^2} + 3{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}}.a\sqrt 3 \cos \alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = {1 \over {\sqrt 3 }}\).

Như thế góc giữa A’D và AB bằng α mà \(\cos \alpha  = {1 \over {\sqrt 3 }}\)

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z   \cr  &  \Rightarrow {\overrightarrow {AC'} ^2} = 3{a^2} + {a^2} - {a^2} - {a^2} = 2{a^2} \cr} \)

Dễ thấy AB’ = a.

Ta có ADC’B’ là hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ là hình vuông. Vậy AC’ ⊥ B’D, tức là góc giữa AC’ và B’D bằng 90°.

b)

\({S_{A'B'C{\rm{D}}}} = A'D.A'B'\sin \widehat {DA'B'} = a\sqrt 3 .a.{{\sqrt 6 } \over 3}\) .

Vậy \({S_{A'B'C{\rm{D}}}} = {a^2}\sqrt 2 \)

Đặt \(\widehat {ACC'} = \beta \)  thì \(AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} - 2{\rm{A}}C.CC'.\cos \beta \)

hay

\(\eqalign{  & 2{a^2} = 3{a^2} + {a^2} - 2a\sqrt 3 .a.\cos \beta   \cr  &  \Rightarrow \cos \beta  = {1 \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow \sin \beta  = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

Vậy \({S_{ACC'A'}} = AC.CC'.\sin \beta  = a\sqrt 3 .a.{{\sqrt 6 } \over 3} = {a^2}\sqrt 2 \)

c) Do \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z \)

Suy ra:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow x   \cr  &  = {a^2} + {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = {a^2} \cr} \)

hay

 \(\eqalign{  & \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \gamma  = {a^2}  \cr  &  \Rightarrow \cos \gamma  = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \gamma  = {45^0} \cr} \)

Vậy góc giữa AC’ và AB bằng 45°.

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \left( {\overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow y   \cr  &  = {{{a^2}} \over 2} + {a^2} - {{{a^2}} \over 2} = {a^2} \cr} \)

hay

\(\eqalign{  & \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right|\cos \varphi  = {a^2}  \cr  &  \Rightarrow \cos \varphi  = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^0} \cr} \)

Vậy góc giữa AC’ và AD bằng 45°.

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AA'}  = \left( {\overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow z   \cr  &  =  - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} + {a^2} = 0 \cr} \)

Vậy góc giữa AC’ và AA’ bằng 90°.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua