Câu 16 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau và vuông góc với nhau. (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆’ và vuông góc với ∆ (A ≠ I). Hai điểm B, C thay đổi trên ∆’ sao cho mp(B, ∆) vuông góc với mp(C, ∆). Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi.

b) A’B.A’C không đổi và trực tâm của tam giác ABC là điểm cố định.

c) Các điểm B’, C’ thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

 

Ta có \(AI \bot \left( {IBC} \right)\) nên \(\widehat {BIC}\) hoặc \({180^0} - \widehat {BIC}\) là góc giữa mp(B, ∆) và mp(C, ∆).

Theo giả thiết \(mp\left( {B,\Delta } \right) \bot mp\left( {C,\Delta } \right)\) nên \(\widehat {BIC} = {90^0}\). Như vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

a) Ta có

\(\eqalign{  & A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = A{I^2} + I{B^2} + A{I^2} + I{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = 2{\rm{A}}{I^2} \cr} \)

Điều này khẳng định \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi.

b) Dễ thấy IA’ là đường cao của tam giác vuông IBC. Vậy \(A'B.A'C = IA{'^2}\).

Vì \(IA' \bot \Delta '\) nên IA’ là cố định, do đó A’B.A’C không đổi.

Vì IABC là tứ diện có các cạnh IA, IB, IC đôi một vuông góc nên trực tâm của tam giác ABC là hình chiếu H của điểm I trên mặt phẳng (ABC) (trùng với mặt phẳng (A, ∆’)). Vậy trực tâm H của tam giác ABC là điểm cố định.

c) Ta có B’, C’ thuộc mp(A, ∆).

\(\widehat {AB'H} = \widehat {AC'H} = {90^0}\).

Vậy B’, C’ thuộc đường tròn đường kính AH trong mp(A, ∆’). Đường tròn này cố định.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.