Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC

Câu 16 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau và vuông góc với nhau. (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆’ và vuông góc với ∆ (A ≠ I). Hai điểm B, C thay đổi trên ∆’ sao cho mp(B, ∆) vuông góc với mp(C, ∆). Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi.

b) A’B.A’C không đổi và trực tâm của tam giác ABC là điểm cố định.

c) Các điểm B’, C’ thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

 

Ta có \(AI \bot \left( {IBC} \right)\) nên \(\widehat {BIC}\) hoặc \({180^0} - \widehat {BIC}\) là góc giữa mp(B, ∆) và mp(C, ∆).

Theo giả thiết \(mp\left( {B,\Delta } \right) \bot mp\left( {C,\Delta } \right)\) nên \(\widehat {BIC} = {90^0}\). Như vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

a) Ta có

\(\eqalign{  & A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = A{I^2} + I{B^2} + A{I^2} + I{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = 2{\rm{A}}{I^2} \cr} \)

Điều này khẳng định \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi.

b) Dễ thấy IA’ là đường cao của tam giác vuông IBC. Vậy \(A'B.A'C = IA{'^2}\).

Vì \(IA' \bot \Delta '\) nên IA’ là cố định, do đó A’B.A’C không đổi.

Vì IABC là tứ diện có các cạnh IA, IB, IC đôi một vuông góc nên trực tâm của tam giác ABC là hình chiếu H của điểm I trên mặt phẳng (ABC) (trùng với mặt phẳng (A, ∆’)). Vậy trực tâm H của tam giác ABC là điểm cố định.

c) Ta có B’, C’ thuộc mp(A, ∆).

\(\widehat {AB'H} = \widehat {AC'H} = {90^0}\).

Vậy B’, C’ thuộc đường tròn đường kính AH trong mp(A, ∆’). Đường tròn này cố định.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua