Câu 13 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 13 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Qua đỉnh A, B, C, D dựng các đường thẳng a, b, c, d tương ứng song song với nhau và không thuộc mp(ABCD). Trên mỗi đường thẳng a, b, c, d lần lượt lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\). Chứng minh rằng:

a) Nếu các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) không đồng phẳng thì đường thẳng nối trung điểm A₁C₁ và trung điểm B₁D₁ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Bốn điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) đồng phẳng khi và chỉ khi trung điểm của A₁C₁ trùng với trung điểm B₁D₁.

c) Nếu bốn đường thẳng \(A{C_1},B{{\rm{D}}_1},C{A_1},D{B_1}\) đôi một cắt nhau thì \(ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là một hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu l // a. Khi đó A₁C₁ có hình chiếu là AC nên trung điểm I của A₁C₁ có hình chiếu là trung điểm O của AC.

Tương tự, trung điểm J của B₁D₁ có hình chiếu là trung điểm O của BD.

Do đó, ba điểm I, J, O phải nằm trên một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ này đi qua điểm cố định O.

b) Nếu \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) đồng phẳng thì \({A_1}{B_1}//{C_1}{D_1}\) vì chúng là giao tuyến của \(mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) với hai mặt phẳng song song \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right),\left( {DC{C_1}{D_1}} \right)\).

Tương tự, ta có \({A_1}{D_1}//{B_1}{C_1}\). Vậy tứ giác \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là một hình bình hành. Do đó trung điểm I của A₁C₁ trùng với trung điểm J của B₁D₁.

● Ngược lại, nếu I trùng với J thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng nằm trên mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau A₁C₁ và B₁D₁.

Giả sử AC₁ cắt BD₁ tại K. Khi đó, ta có \(mp\left( {A{C_1},B{{\rm{D}}_1}} \right) \equiv mp\left( {AB{C_1}{D_1}} \right)\).

Mặt phẳng này cắt hai mặt phẳng song song \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right),\left( {DC{C_1}{D_1}} \right)\) theo hai giao tuyến song song AB và C₁D₁, suy ra \({C_1}{D_1}//C{\rm{D}}\). Mặt khác \(D{D_1}//C{C_1}\).

Vậy tứ giác \(CD{D_1}{C_1}\) là hình bình hành.

Do đó: \(C{\rm{D}} = {C_1}{D_1} \Rightarrow {C_1}{D_1} = BA\).

Như vậy \(AB{C_1}{D_1}\) là hình bình hành và K là trung điểm của AC₁ và BD₁.

Tương tự, nếu BD₁ cắt CA₁ tại K’ thì \(BC{{\rm{D}}_1}{A_1}\) là hình bình hành và K’ là trung điểm của BD₁ và CA₁ nên K’ ≡ K.

Tương tự, ta cũng suy ra K là trung điểm của B₁D, các mặt \(AB{B_1}{A_1},BC{C_1}{B_1}\) đều là hình bình hành và từ đó \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cũng là hình bình hành. Vậy \(ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp.

Loigiaihay.com