Câu 15 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 15 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = {90^0}\) , \(AB = 2{\rm{a}},C{\rm{D}} = a,A{\rm{D}} = 3{\rm{a}}\) M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng AD.

a) Xác định vị trí điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau.

b) Gọi S là điểm thuộc đường thẳng vuông góc với mp(ABC) kẻ từ điểm M sao cho SM = AM. Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện thu được theo a và x, ở đây \(x = AM\left( {0 < x \le 3{\rm{a}}} \right)\).

Lời giải chi tiết

 

a) Đặt \(AM = x\) thì \(DM=3a-x\).

Dễ thấy \(BC = a\sqrt {10} \)

\(\eqalign{  & M{B^2} = 4{{\rm{a}}^2} + {x^2}  \cr  & M{C^2} = {a^2} + {\left( {3{\rm{a}} - x} \right)^2} \cr} \)

Hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & B{C^2} = M{B^2} + M{C^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 10{a^2} = 2{{\rm{x}}^2} + 14{a^2} - 6ax  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} - 3ax + 2{a^2} = 0  \cr  &  \Rightarrow x = a,x = 2a \cr} \)

Vậy có hai vị trí của M để MB và MC vuông góc với nhau.

b) Vì \(SM \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right),AB \bot MA\) nên \(AB \bot SA\) (định lí ba đường vuông góc). Mặt khác \(\left( P \right) \bot SA\) nên (P) // AB.

Do MA = MS, (P) đi qua M và \(\left( P \right) \bot SA\) nên (P) cắt SA tại trung điểm A1 của SA. Từ đó (P) cắt (SAB) theo giao tuyến A1B1 với A1B1 // AB; (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN song song với AB. Như vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P) là hình thang vuông M A1B1N (tứ giác M A1B1N là hình thang vuông MN // A1B1, ngoài ta \(AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \({A_1}{B_1} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\), tức là \({A_1}{B_1} \bot M{A_1}\))

\(\eqalign{  & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left( {{A_1}{B_1} + MN} \right).{A_1}M  \cr  & {A_1}{B_1} = {1 \over 2}AB = a,{A_1}M = {1 \over 2}SA = {{x\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Gọi I là giao điểm của AD và BC thì IA = 6a. Ta có

\(\eqalign{  & {{MN} \over {AB}} = {{IM} \over {IA}} \Leftrightarrow {{MN} \over {2{\rm{a}}}} = {{6{\rm{a}} - x} \over {6{\rm{a}}}}  \cr  &  \Rightarrow MN = {{6a - x} \over 3} \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{  & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left( {a + {{6{\rm{a}} - x} \over 3}} \right).{{x\sqrt 2 } \over 2}  \cr  &  = {{\sqrt 2 \left( {9{\rm{a}} - x} \right)x} \over {12}}\,\left( {voi\,0 < x \le 3{\rm{a}}} \right) \cr} \).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài