Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a. Lấy điểm B₁ thuộc BB’, điểm C₁ thuộc CC’. Đặt \(B{B_1} = x,C{C_1} = y\).

a) Tam giác AB₁C₁ có thể vuông ở A được không? Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x, y để AB₁C₁ là tam giác vuông tại B₁.

b) Giả sử AB₁C₁ là tam giác thường và B₁ là trung điểm của BB’, y = 2x và α là góc giữa mp(ABC) và mp(AB₁C₁). Hãy tính diện tích tam giác AB₁C₁ và độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho.

Lời giải chi tiết

a) ● Tam giác AB₁C₁ vuông ở A khi và chỉ khi

\({B_1}C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2\)

Mặt khác

\(\eqalign{ & {B_1}C_1^2 = {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} \cr & AB_1^2 = {a^2} + {x^2} \cr & AC_1^2 = {a^2} + {y^2} \cr} \)

Do đó tam giác AB₁C₁ vuông ở A khi và chỉ khi

\(\eqalign{ & {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} = 2{{\rm{a}}^2} + {x^2} + {y^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = - {a^2} \cr} \)

Điều này không xảy ra. Vậy tam giác AB₁C₁ không thể vuông tại A được.

● Tam giác AB₁C₁ vuông tại B₁ khi và chỉ khi

\(\eqalign{ & AC_1^2 = AB_1^2 + {B_1}C_1^2 \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = 2{{\rm{x}}^2} + {a^2} \cr} \)

Đó là hệt thức liên hệ giữa a, x, y để tam giác AB₁C₁ vuông tại B₁.

b) Khi B₁ là trung điểm của BB’, y = 2x thì C₁ trùng với C’.

Gọi \(I = BC \cap {B_1}C'\) thì \(AI = \left( {A{B_1}C'} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).

Vì \({B_1}B = {1 \over 2}BB'\) nên BI = BC, từ đó ta có IAC là tam giác vuông tại A, tức là \(AC \bot AI\).

Mặt khác, \(C'C \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC' \bot AI\) (định lí ba đường vuông góc).

Như vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(AB₁C’) và mp(ABC).

Theo giả thiết thì \(\widehat {C'AC} = \alpha \)

Từ đó \({S_{ABC}} = {S_{A{B_1}{C_1}}}\cos \alpha \)

tức là \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \alpha }}\)

Như vậy \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {4\cos \alpha }}\)

Ta có: \(CC' = AC\tan \alpha = a\tan \alpha \)

Vậy độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho là \(a\tan \alpha \).