Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC

Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a. Lấy điểm B1 thuộc BB’, điểm C1 thuộc CC’. Đặt \(B{B_1} = x,C{C_1} = y\).

a) Tam giác AB1C1 có thể vuông ở A được không? Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x, y để AB1C1 là tam giác vuông tại B1.

b) Giả sử AB1C1 là tam giác thường và B1 là trung điểm của BB’, y = 2x và α là góc giữa mp(ABC) và mp(AB1C1). Hãy tính diện tích tam giác AB1C1 và độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho.

Lời giải chi tiết

 

a) ● Tam giác AB1C1 vuông ở A khi và chỉ khi

\({B_1}C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2\)

Mặt khác

\(\eqalign{  & {B_1}C_1^2 = {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2}  \cr  & AB_1^2 = {a^2} + {x^2}  \cr  & AC_1^2 = {a^2} + {y^2} \cr} \)

Do đó tam giác AB1C1 vuông ở A khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} = 2{{\rm{a}}^2} + {x^2} + {y^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y =  - {a^2} \cr} \)

Điều này không xảy ra. Vậy tam giác AB1C1 không thể vuông tại A được.

● Tam giác AB1C1 vuông tại B1 khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & AC_1^2 = AB_1^2 + {B_1}C_1^2  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = 2{{\rm{x}}^2} + {a^2} \cr} \)

Đó là hệt thức liên hệ giữa a, x, y để tam giác AB1C1 vuông tại B1.

b) Khi B1 là trung điểm của BB’, y =  2x thì C1 trùng với C’.

Gọi \(I = BC \cap {B_1}C'\) thì \(AI = \left( {A{B_1}C'} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).

Vì \({B_1}B = {1 \over 2}BB'\) nên BI =  BC, từ đó ta có IAC là tam giác vuông tại A, tức là \(AC \bot AI\).

Mặt khác, \(C'C \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC' \bot AI\) (định lí ba đường vuông góc).

Như vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(AB1C’) và mp(ABC).

Theo giả thiết thì \(\widehat {C'AC} = \alpha \)

Từ đó \({S_{ABC}} = {S_{A{B_1}{C_1}}}\cos \alpha \)

tức là \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \alpha }}\)

Như vậy \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {4\cos \alpha }}\)

Ta có: \(CC' = AC\tan \alpha  = a\tan \alpha \)

Vậy độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho là \(a\tan \alpha \).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua