Câu 41 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 41 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện SABC, hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và có SA vuông góc với mp(ABC), \(SB = a\sqrt 2 ,\widehat {B{\rm{S}}C} = {45^0},\widehat {ASB} = \alpha \).

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với SB. Tìm điểm cách đều các điểm S, A, B, C.

b) Xác định α để hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60°.

Lời giải chi tiết

a) Vì

\(\eqalign{  & \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)  \cr  & \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right) \cr} \)

mà \(BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Như vậy, tứ diện SABC có \(\widehat {SAC} = {90^0}\) và \(\widehat {SBC} = {90^0}\) nên điểm cách đều S, A, B, C là trung điểm của SC.

Chú ý. Có thể chứng minh \(BC \bot SB\) như sau:

Kẻ \(A{B_1} \bot SB\) do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(A{B_1} \bot \left( {SBC} \right)\)

\( \Rightarrow A{B_1} \bot BC\)

mặt khác \(BC \bot SA\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)  \cr  &  \Rightarrow BC \bot SB \cr} \)

b) Kẻ \(A{B_1} \bot SB,A{C_1} \bot SC\), dễ chứng minh được

\(A{B_1} \bot \left( {SBC} \right)\) và \(\left( {A{B_1}{C_1}} \right) \bot SC\).

Từ đó \(\widehat {A{C_1}{B_1}}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SCA) và (SCB).

Xét ∆AB1C1 ta có \(A{B_1} = {B_1}{C_1}\tan {60^0}\)

mà \(A{B_1} = S{B_1}\tan \alpha ,{B_1}{C_1} = S{B_1}\sin {45^0}\).

Vậy hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60° khi và chỉ khi

\(S{B_1}\tan \alpha  = S{B_1}.{{\sqrt 2 } \over 2}.\sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \alpha  = {{\sqrt 6 } \over 2}\).

Hệ thức này xác định α.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài