Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 18 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho tứ diệm ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0< x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD.

a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(P) đạt giá trị lớn nhấ.

b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy thiết diện là hình bình hành MNPQ và \({S_{MNPQ}} = NM.NQ.\sin \widehat {MNQ}\) .

Do MN // AB, NQ // CD nên góc giữa MN và NQ bằng góc giữa AB và CD do đó \(\sin \widehat {MNQ} = \sin \alpha \) .

Ta có:

\(\eqalign{& {{MN} \over {AB}} = {{AC - x} \over {AC}} \Rightarrow MN = {{AB} \over {AC}}\left( {AC - x} \right) \cr 
& NQ = M{\rm{R}},{{M{\rm{R}}} \over {C{\rm{D}}}} = {{AM} \over {AC}} = {x \over {AC}} \cr 
& \Rightarrow M{\rm{R}} = {{C{\rm{D}}} \over {AC}}x \cr} \)

Vậy \({S_{MNQR}} = {{AB.CD} \over {A{C^2}}}\left( {AC - x} \right)x\sin \alpha \).

Từ đó diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x = {{AC} \over 2}\).

Như vậy, khi M là trung điểm của AC thì diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) đạt giá trị lớn nhất.

b) Gọi P là nửa chu vi của thiết diện, khi đó:

\(\eqalign{  & p = MN + M{\rm{R}} = {{AB} \over {AC}}\left( {AC - x} \right) + {{C{\rm{D}}} \over {AC}}x  \cr  &  = {{C{\rm{D}} - AB} \over {AC}}x + AB \cr} \)

Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi:

\(CD – AB = 0\) hay \(AB = CD.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2k7 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập mễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua