Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 39 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 39 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

b) Từ A kẻ \(A{B_1} \bot SB,A{{\rm{D}}_1} \bot S{\rm{D}}\). Chứng tỏ rằng \(mp\left( {A{B_1}{D_1}} \right) \bot SC\).

Gọi C1 là giao điểm của SC với mp(AB1C1). Chứng tỏ rằng tứ giác AB1C1D1 có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó.

Lời giải chi tiết

 

a) Dễ dàng thấy SAB, SAD là các tam giác vuông tại A.

Mặt khác \(SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right),A{\rm{D}} \bot DC\) nên \(S{\rm{D}} \bot DC\) (định lí ba đường vuông góc), do đó SDC là tam giác vuông tại D.

Tương tự , SBC là tam giác vuông tại B.

b) Dễ dàng chứng minh được

\(\eqalign{  & A{{\rm{D}}_1} \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)  \cr  &  \Rightarrow A{{\rm{D}}_1} \bot SC \cr} \)

Cũng như vậy, ta có \(A{B_1} \bot SC\)

Vậy \(SC \bot \left( {A{B_1}{D_1}} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}},{O_1} = {B_1}{D_1} \cap SO\) thì \({C_1} = A{O_1} \cap SC\).

Mặt khác \(\Delta SAB = \Delta SA{\rm{D}}\left( {c.g.c} \right)\) nên B1D1 // BD.

Ta lại có

\(\eqalign{  & B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)  \cr  &  \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot A{C_1} \cr} \)

Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)

Ta có

\(\eqalign{  & A{C_1} = {{SA.AC} \over {SC}} = {{a\sqrt 6 } \over 3}  \cr  & {{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{S{B_1}} \over {SB}} = {{S{B_1}.SB} \over {S{B^2}}} = {{S{A^2}} \over {S{B^2}}} = {{{a^2}} \over {2{{\rm{a}}^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {B_1}{D_1} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

(Chú ý: Có thể thấy B1, D1 thứ tự là trung điểm của SB là SD nên B1D1 // BD và \({B_1}{D_1} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\))

Vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 6}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua