Câu 39 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 39 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

b) Từ A kẻ \(A{B_1} \bot SB,A{{\rm{D}}_1} \bot S{\rm{D}}\). Chứng tỏ rằng \(mp\left( {A{B_1}{D_1}} \right) \bot SC\).

Gọi C1 là giao điểm của SC với mp(AB1C1). Chứng tỏ rằng tứ giác AB1C1D1 có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó.

Lời giải chi tiết

 

a) Dễ dàng thấy SAB, SAD là các tam giác vuông tại A.

Mặt khác \(SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right),A{\rm{D}} \bot DC\) nên \(S{\rm{D}} \bot DC\) (định lí ba đường vuông góc), do đó SDC là tam giác vuông tại D.

Tương tự , SBC là tam giác vuông tại B.

b) Dễ dàng chứng minh được

\(\eqalign{  & A{{\rm{D}}_1} \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)  \cr  &  \Rightarrow A{{\rm{D}}_1} \bot SC \cr} \)

Cũng như vậy, ta có \(A{B_1} \bot SC\)

Vậy \(SC \bot \left( {A{B_1}{D_1}} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}},{O_1} = {B_1}{D_1} \cap SO\) thì \({C_1} = A{O_1} \cap SC\).

Mặt khác \(\Delta SAB = \Delta SA{\rm{D}}\left( {c.g.c} \right)\) nên B1D1 // BD.

Ta lại có

\(\eqalign{  & B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)  \cr  &  \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot A{C_1} \cr} \)

Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)

Ta có

\(\eqalign{  & A{C_1} = {{SA.AC} \over {SC}} = {{a\sqrt 6 } \over 3}  \cr  & {{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{S{B_1}} \over {SB}} = {{S{B_1}.SB} \over {S{B^2}}} = {{S{A^2}} \over {S{B^2}}} = {{{a^2}} \over {2{{\rm{a}}^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {B_1}{D_1} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

(Chú ý: Có thể thấy B1, D1 thứ tự là trung điểm của SB là SD nên B1D1 // BD và \({B_1}{D_1} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\))

Vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 6}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài