Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuô..

Câu 44 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 44 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính:

a) Các góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp.

b) Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.

Lời giải chi tiết

 

a) Dễ thấy

\(\eqalign{  & \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)  \cr  & \left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \cr} \)

nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng 90°.

Ta có \(\left( {S{\rm{D}}A} \right) \bot C{\rm{D}}\) và SDA là tam giác vuông tại A nên \(\widehat {S{\rm{D}}A}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD).

Từ đó: \(\tan \widehat {S{\rm{D}}A} = {1 \over 2}\)

Tương tự, \(\tan \widehat {SBA} = 1 \Leftrightarrow \widehat {SBA} = {45^0}\).

Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng φ mà \(\tan \varphi  = {1 \over 2}\) và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc 45°.

b) Vì \(\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°.

Ta cũng có \(C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \(\left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot SA{\rm{D}}\). Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 90°. Tương tự, ta cũng có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 90°.

Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC).

Trong  mp(ABCD), kẻ A qua đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J, thì \({\rm{IJ}} \bot {\rm{SC}}\).

Trong mp(SAC) kẻ \(A{C_1} \bot SC\) thì \(\left( {IJ{C_1}} \right) \bot SC\) .

Do đó, \(\widehat {I{C_1}J}\) hoặc \({180^0} - \widehat {I{C_1}J}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Ta có:

\(\eqalign{  & AJ = AC\tan \widehat {ACD} = 2a\sqrt 5   \cr  & {1 \over {AC_1^2}} = {1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {5{a^2}}} = {6 \over {5{a^2}}}  \cr  &  \Rightarrow A{C_1} = {{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }} \cr} \)

Đặt \(\widehat {A{C_1}J} = \alpha \) thì \(\tan \alpha  = {{AJ} \over {A{C_1}}} = {{2a\sqrt 5 } \over {{{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }}}} = 2\sqrt 6 \)

Đặt \(\widehat {A{C_1}I} = \beta \) thì \(\tan \beta  = {{AI} \over {A{C_1}}} = {{AC\tan \widehat {ACI}} \over {A{C_1}}} = {{a\sqrt 5 .{1 \over 2}} \over {{{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }}}} = {{\sqrt 6 } \over 2}\)

Đặt \(\widehat {I{C_1}J} = \varphi \)  thì \(\tan \varphi  = {{2\sqrt 6  + {{\sqrt 6 } \over 2}} \over {1 - 2\sqrt 6 .{{\sqrt 6 } \over 2}}} =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\)

Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là \({180^0} - \varphi \) mà \(\tan \varphi  = {{ - \sqrt 6 } \over 2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua