Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 7. Phương trình mũ và lôgarit

Câu 2.96 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao


Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

LG a

\({25^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + m = 0\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \({5^{x + 1}} = t\left( {t > 0} \right)\) . Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình \({t^2} - 5t + m = 0\) (1) có ít nhất một nghiệm dương.

Điều kiện để (1) có nghiệm là \(\Delta  = 25 - 4m \ge 0\)  hay \(m \le \dfrac{25}{4}\). Gọi các nghiệm của (1) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét \({t_1} + {t_2} = 5\) suy ra  \({t_2} > 0\). Do đó nếu (1) có nghiệm thì luôn có nghiệm dương.

Suy ra phương trình (1) có ít nhất nghiệm dương \(\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\)

Hay phương trình đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\).

LG b

\({\left( {{1 \over 9}} \right)^x} - m.{\left( {{1 \over 3}} \right)^x} + 2m + 1 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\). Bài toán trở thành

Tìm m để phương trình \({t^2} - mt + 2m + 1 = 0\) (2) có ít nhất một nghiệm dương. Điều kiện để (2) có nghiệm là  \(\Delta  = {m^2} - 4\left(2 {m + 1} \right)\\ = {m^2} - 8m - 4 \ge 0\)

hay \(m \le 4 - 2\sqrt 5 \) hoặc \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \)

Gọi các nghiệm của (2) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét

  \({t_1} + {t_2} = m;{t_1}{t_2} = 2m + 1\)

- Với \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} = m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) suy ra \({t_2} > 0\)

- Với \(m <  - {1 \over 2}\) thì \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_2} > 0\)

- Với \( - {1 \over 2} < m < 4 - 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} < 0\) và \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_1} < {t_2} < 0\)

Vậy với \(m <  - {1 \over 2}\) hoặc \(m \ge 4 + \sqrt 5 \) thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm \({t_2} > 0\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với

 \(\Delta  = {m^2} - 8m - 4;S = m;P = 2m + 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store